Derivada parcial para niños

Enciclopedia para niños

En matemáticas, la derivada parcial de una función con varias variables es una forma especial de calcular cómo cambia esa función cuando solo una de sus variables cambia, mientras las demás se mantienen fijas. Imagina que tienes una receta de cocina donde la cantidad de azúcar y harina afectan el sabor de un pastel. Si quieres saber cómo cambia el sabor solo por la cantidad de azúcar (manteniendo la harina igual), usarías una derivada parcial.

Las derivadas parciales se usan en áreas como el cálculo vectorial y la geometría diferencial, que nos ayudan a entender cómo se mueven las cosas o cómo son las formas en el espacio.

La derivada parcial de una función $f(x,y,\dots)$ con respecto a la variable $x$ se puede escribir de varias maneras, como:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{\partial f}{\partial x},\partial_x f,\text{ o } f_x.

El símbolo $\partial$ es como una 'd' redondeada y se conoce como la 'd de Jacobi'. Uno de los primeros en usar un símbolo parecido fue el Marqués de Condorcet en 1770. La forma moderna de escribir las derivadas parciales la propuso Adrien-Marie Legendre en 1786, y luego Carl Gustav Jacob Jacobi la volvió a usar en 1841.

Cuando una cantidad $A$ depende de varias variables (como $x,y,z,...$ ), por ejemplo:

A = f\left(x,y,z,...\right)

Al calcular una derivada parcial, encontramos la inclinación de una línea que toca la función en un punto específico. Esta línea es paralela a un plano formado por el eje de la variable que estamos analizando y el eje que representa los valores de la función.

Contenido

¿Qué es una Derivada Parcial?
- Entendiendo el Cambio en Funciones con Varias Variables
- Calculando la Inclinación en un Punto Específico
Ejemplos Prácticos de Derivadas Parciales
- Volumen de un Cono
El Gradiente: La Dirección de Mayor Cambio
Notación de las Derivadas Parciales
Derivada Direccional
Galería de imágenes
Véase también

¿Qué es una Derivada Parcial?

Entendiendo el Cambio en Funciones con Varias Variables

Imagina que tienes una función que describe una superficie en el espacio, como la altura de una montaña en diferentes puntos. Por ejemplo, la función $z=f(x,y)=x^2 + xy + y^2$ crea una forma curva en 3D.

La gráfica de

z= x^2 + xy + y^2

es una superficie curva.

En cualquier punto de esta superficie, hay muchas direcciones en las que puedes moverte. La derivada parcial nos ayuda a encontrar la inclinación de la superficie si solo te mueves en una dirección específica, por ejemplo, solo hacia adelante o solo hacia los lados.

Generalmente, nos interesan las inclinaciones que son paralelas a los planos principales, como el plano Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): xz (donde la variable $y$ se mantiene constante) o el plano $yz$ (donde la variable $x$ se mantiene constante).

Calculando la Inclinación en un Punto Específico

Para encontrar la inclinación de la función Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): f(x,y)=x^2 + xy + y^2 en un punto como Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): P(1,1) , si queremos saber cómo cambia la función solo con respecto a $x$ (manteniendo $y$ constante), hacemos lo siguiente:

1. Consideramos $y$ como un número fijo. 2. Derivamos la función solo con respecto a $x$ .

La derivada parcial de $f$ con respecto a $x$ es:

\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y

Ahora, si queremos saber la inclinación en el punto $(1,1)$ , reemplazamos $x=1$ e Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): y=1 en la expresión:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{\partial f}{\partial x}|_{(1,1)}=2(1)+1 = 3

Esto significa que en el punto $(1,1)$ , si te mueves solo en la dirección de $x$ (manteniendo $y$ constante), la inclinación de la superficie es 3.

Parte de la gráfica en el plano

xz

, en

y=1

. La pendiente de la recta tangente es

3

Ejemplos Prácticos de Derivadas Parciales

Volumen de un Cono

Un buen ejemplo para entender las derivadas parciales es el volumen de un cono. El volumen $V$ de un cono depende de dos cosas: su altura $h$ y el radio de su base $r$ . La fórmula es:

V(r,h) = \frac{\pi r^2h}{3}

Podemos calcular cómo cambia el volumen si solo modificamos el radio o solo la altura:

Cambio del volumen al variar el radio (altura constante):

Si queremos saber cómo cambia el volumen si solo aumentamos o disminuimos el radio, manteniendo la altura fija, calculamos la derivada parcial de $V$ con respecto a $r$ : :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{\partial V}{\partial r}=\frac{2\pi rh}{3} Esto nos dice qué tan rápido crece o decrece el volumen si solo ajustamos el radio.

Cambio del volumen al variar la altura (radio constante):

Si queremos saber cómo cambia el volumen si solo aumentamos o disminuimos la altura, manteniendo el radio fijo, calculamos la derivada parcial de $V$ con respecto a $h$ : :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{ \partial V}{\partial h}=\frac{\pi r^2}{3} Esto nos dice qué tan rápido crece o decrece el volumen si solo ajustamos la altura.

El volumen de un cono depende de la altura (h) y el radio (r).

El Gradiente: La Dirección de Mayor Cambio

El gradiente es un concepto importante relacionado con las derivadas parciales. Imagina que estás en la superficie de una montaña y quieres saber en qué dirección es más empinada. El gradiente es un vector que apunta en la dirección donde la función (la altura de la montaña) aumenta más rápidamente.

Si tienes una función $f$ que depende de varias variables (Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x_1, x_2, \dots, x_n ), el gradiente de $f$ en un punto se forma con todas sus derivadas parciales en ese punto:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).

Este vector nos indica la dirección de mayor cambio de la función.

Notación de las Derivadas Parciales

Las derivadas parciales se pueden escribir de varias maneras. Si tenemos una función $f(x,y,z)$ :

Derivadas parciales de primer orden:

Con respecto a $x$ , se pueden escribir como: : $\frac{\partial f}{\partial x}=f_x= \partial_x f$

Derivadas parciales de segundo orden:

Si derivamos dos veces con respecto a la misma variable, por ejemplo $x$ : :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=f_{xx}=\partial_{xx}f

Derivadas parciales cruzadas:

Si derivamos primero con respecto a una variable y luego con respecto a otra, por ejemplo, primero $x$ y luego $y$ : :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f_{xy} Un dato interesante es que, si estas derivadas son "continuas" (es decir, no tienen saltos bruscos), el orden en que las calculas no importa. Es decir, Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): f_{xy} es igual a Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): f_{yx} . Esto se conoce como el teorema de Clairaut o teorema de Schwarz.

Derivada Direccional

La derivada direccional es una idea que va un paso más allá de la derivada parcial. Mientras que la derivada parcial mide el cambio en una dirección paralela a los ejes (como solo en $x$ o solo en $y$ ), la derivada direccional mide el cambio de una función en CUALQUIER dirección que elijas.

Imagina que estás en la montaña y quieres saber qué tan empinada es si caminas en diagonal. La derivada direccional te daría esa información. Se calcula usando el gradiente y la dirección en la que quieres moverte.

Galería de imágenes

Una gráfica de Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): z = x^2 + xy + y^2 . Para la derivada parcial en Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (1, 1) que deja $y$ constante, la recta tangente correspondiente es paralela al plano Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): xz .

Véase también

En inglés: Partial derivative Facts for Kids

Obtenido de «https://ninos.kiddle.co/index.php?title=Derivada_parcial&oldid=4692722»

Todo el contenido de los artículos de la Enciclopedia Kiddle (incluidas las imágenes) se puede utilizar libremente para fines personales y educativos bajo la licencia Atribución-CompartirIgual a menos que se indique lo contrario. Citar este artículo:

Derivada parcial para Niños. Enciclopedia Kiddle.