Cálculo vectorial para niños

Enciclopedia para niños

El cálculo vectorial, análisis vectorial o cálculo multivariable es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.
Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.
Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.
Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.

La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.

Contenido

Historia
Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales
Aplicaciones del cálculo diferencial
- Cálculo de máximos, mínimos y puntos de ensilladura para campos escalares
Véase también

Historia

El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.

Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial.

Este trabajo se debe principalmente al físico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) y al físico matemático inglés Oliver Heaviside(1850-1925).

Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales

Funciones de Rⁿ en R^m. Campos escalares y vectoriales

Formularemos las definiciones para campos vectoriales. También serán válidas para campos escalares. Sea

\mathbf{f}:V \longrightarrow W

un campo vectorial que hace corresponder a todo punto P definido biunívocamente por su vector posición, un vector $\mathbf{f}\big (\mathbf{OP}\big )$ donde el punto O es nuestro origen de coordenadas.

V \subseteq \mathbb{R}^n, W \subseteq \mathbb{R}^m,

con

n > 1

m \geqslant 1

. Cuando

m=1

tenemos un campo escalar. Para

m>1

tenemos un campo vectorial. Utilizaremos la norma euclídea para hallar la magnitud de los vectores.

Límites y continuidad

Si $\mathbf{a} \in \mathbb{R}^n$ y $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m.$ Escribimos:

\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )=\mathbf{b}

o bien,

\mathbf{f}(\mathbf{x}) \rightarrow \mathbf{b}

cuando

\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}

para expresar lo siguiente:

\lim_{\big \|\mathbf{x-a}\big \| \to 0}\big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) - \mathbf{b}\big \| = 0

donde $\big \|\mathbf{x}\big \|$ es la norma euclídea de $\mathbf{x}$ . Expresándolo en función de las componentes de $\mathbf{x} = \big (x_1,\ldots,x_n\big ), \mathbf{a} = \big (a_1,\ldots,a_n\big ),$

\lim_{\big (x_1,\ldots,x_n\big ) \to \big (a_1,\ldots,a_n\big )}\mathbf{f}\big (x_1,\ldots,x_n\big ) = \mathbf{b}

o, de forma equivalente,

\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}

Decimos que una función $\mathbf{f}$ es continua en $\mathbf{a} \Leftrightarrow \lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{f}\big (\mathbf{a}\big )$

$\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}, \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{a}}\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{c} \Rightarrow$

a) $\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big [\mathbf{f} + \mathbf{g}\big ]\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b} + \mathbf{c}$

b) $\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \lambda\mathbf{b} \quad\forall\lambda \in \mathbb{R}$

c) $\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}$

(producto escalar de $\mathbf{b}$ con $\mathbf{c}$ ).

d) $\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )\Big \|=\big \|\mathbf{b}\big \|$

Demostración
Sabemos que a) y b) en el teorema se verifican si $f$ y $g$ son funciones escalares. Por tanto, si $\mathbf{b} = \big (b_1,\ldots,b_m\big ), \mathbf{c} = \big (c_1,\ldots,c_m\big )$ tenemos $\begin{array}{rl} a) & \mathbf{f}\big (\mathbf{x}) = \big [f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,f_m\big (\mathbf{x}\big )\big ], \mathbf{g}\big (\mathbf{x}) = \Big [g_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,g_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] \\ & \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (\mathbf{f} + \mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) = \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big [\big (f_1+g_1\big )\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\big (f_m+g_m\big )\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\ & \Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (f_1+g_1\big )\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (f_m+g_m\big )\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\ & \Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_1\big (\mathbf{x}\big )+ \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}g_1(\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_m\big (\mathbf{x}\big ) + \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}g_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\ & \big (b_1+c_1,\ldots,b_m+c_m\big ) = \big (b_1,\ldots,b_m\big )+\big (c_1,\ldots,c_m\big ) = \mathbf{b}+\mathbf{c} \end{array}$ $\begin{array}{rl} b) & \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda\Big [f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big [\lambda f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lambda f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\ & \Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \Big [\lambda\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lambda\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\ & \lambda\Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \lambda\big (b_1,\ldots,b_m\big ) = \lambda\mathbf{b} \end{array}$ $c) \quad \big (\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} = \Big [\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\Big ]\cdot\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big ]+ \mathbf{b}\cdot\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big ]+\mathbf{c}\cdot\Big [\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) -\mathbf{b}\Big ]$ Aplicando la desigualdad triangular y la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos $\begin{array}{l} \Big \|\big (\mathbf{f} \cdot \mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) - \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}\Big \| \leqslant \Big \\|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\Big \\| \cdot \Big \\|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \\|+ \big \\|\mathbf{b}\big \\| \cdot \Big \\|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \\|+ \big \\|\mathbf{c}\big \\| \cdot \Big \\|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) - \mathbf{b}\Big \\| \Rightarrow \\ 0 \leqslant \lim_{\big \\|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \\| \to 0}\Big \|\big (\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big )- \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}\Big \| \leqslant \lim_{\big \\|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \\| \to 0}\Big \\|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )- \mathbf{b}\Big \\| \cdot \lim_{\big \\|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \\| \to 0}\Big \\|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \\|+ \\ \big \\|\mathbf{b}\big \\| \cdot \lim_{\big \\|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \\| \to 0}\Big \\|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \\|+ \big \\|\mathbf{c}\big \\|\lim_{\big \\|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \\| \to 0}\Big \\|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\Big \\| = 0 \cdot 0 + \big \\|\mathbf{b}\big \\| \cdot 0+ \big\\|\mathbf{c}\big \\| \cdot 0 = \\ 0 \end{array}$ , como queríamos demostrar. $d) \quad \mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ), \mathbf{c} = \mathbf{b} \Rightarrow \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big \\|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )\Big \\|^2=\big \\|\mathbf{b}\big \\|^2$ , como queríamos demostrar.

Sean $\mathbf{f}$ y $\mathbf{g}$ dos funciones tales que la función compuesta $\mathbf{f}\circ\mathbf{g}$ está definida en $\mathbf{a}$ , siendo

$\big (\mathbf{f}\circ\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )\Big ]$

$\mathbf{g}$ es continua en $\mathbf{a}$ y $\mathbf{f}$ es continua en $\mathbf{g}\big (\mathbf{a}\big ) \Rightarrow \big (\mathbf{f}\circ\mathbf{g}\big )$ es continua en $\mathbf{a}$ .

Demostración
Sean $\mathbf{y} = \mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )$ y $\mathbf{b} = \mathbf{g}\big (\mathbf{a}\big )$ . Entonces, $\begin{array}{l} \lim_{\big \\|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \\| \to 0}\Big \\|\mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )\Big ]-\mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{a}\big )\Big ]\Big \\| = \lim_{\big \\|\mathbf{y}-\mathbf{b}\big \\| \to 0}\Big \\|\mathbf{f}\big (\mathbf{y}\big )-\mathbf{f}\big (\mathbf{b}\big )\Big \\|=0 \Rightarrow \\ \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )\Big ]=\mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{a}\big )\Big ] \end{array}$ como queríamos demostrar.

Derivadas direccionales

Derivada de un campo escalar respecto a un vector

Sea $f:S \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ . Sea $\mathbf{x}$ un vector cuyo origen es el origen de coordenadas y cuyo extremo $\in S,$ e $\mathbf{y}$ un vector arbitrario de $\mathbb{R}^n$ . Definimos la derivada de f en $\mathbf{x}$ respecto a $\mathbf{y}$ como

$f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \lim_{h \to 0}\cfrac{f\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big )-f\big (\mathbf{x}\big )}{h}$

Derivadas parciales

$\cfrac{\partial f}{\partial x_k} = \lim_{h \to 0}\cfrac{f\big (x_1,\ldots,x_k+h,\ldots,x_n\big )-f\big (x_1,\ldots,x_k,\ldots,x_n\big )}{h}$

Si derivamos la expresión anterior respecto a una segunda variable,

x_j

, tendremos

\cfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}

. En la práctica, calcularemos

\cfrac{\partial f}{\partial x_k}

derivando respecto a

x_k

y suponiendo

x_j, \quad \forall j \ne k

constante.

La diferencial

Definición de campo escalar diferenciable

Decimos que f es diferenciable en $\mathbf{a} \Leftrightarrow$

$\exists f_L:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}\Big |\lim_{\big \|\mathbf{v}\big \| \to \mathbf{0}}f\big (\mathbf{a}+\mathbf{v}\big ) = f\big (\mathbf{a}\big )+f_L\big (\mathbf{v}\big )$ .

$f_L$ ha de ser una aplicación lineal, que definimos como la diferencial de f en a.

La anterior ecuación es la fórmula de Taylor de primer orden para

f\big (\mathbf{a}+\mathbf{v}\big )

Teorema de unicidad de la diferencial

$f$ es diferenciable en $\mathbf{x}$ con diferencial $f_L\big (\mathbf{y}\big ) \Rightarrow$

a) $\exists f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) \quad \forall\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$

b) $f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \sum_{k=1}^n y_k \cfrac{\partial f}{\partial x_k}$

Demostración
$\begin{array}{rl} a) & \mathbf{v} = h\mathbf{y}, \quad h \in \mathbb{R}, \\ & \lim_{\big \\|\mathbf{v}\big \\| \to \mathbf{0}}f\big (\mathbf{x}+\mathbf{v}\big ) = \lim_{\big \\|\mathbf{v}\big \\| \to \mathbf{0}}f\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big ) = f\big (\mathbf{x}\big )+f_L\big (h\mathbf{y}\big ) = \\ & f\big (\mathbf{x}\big )+ hf_L\big (\mathbf{y}\big ) \Rightarrow \\ & \lim_{h \to 0}\cfrac{f\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big )-f\big (\mathbf{x}\big )}{h} = f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = f_L\big (\mathbf{y}\big ) \end{array}$ como queríamos demostrar. $b)$ Expresando $y$ en función de sus componentes en la base $\begin{array}{l} \big \{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n\big \}, f_L\big (\mathbf{y}\big ) = f_L\big (\sum_{k=1}^n y_k\mathbf{e}_k\big ) = \sum_{k=1}^n y_k f_L\big (\mathbf{e}_k\big ) = \sum_{k=1}^n y_k f'\big (\mathbf{x};\mathbf{e}_k\big ) = \\ \sum_{k=1}^n y_k \cfrac{\partial f}{\partial x_k} \end{array}$ como queríamos demostrar.

Regla de la cadena

Sea $f:S \subset \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ un campo escalar y $\mathbf{x}:J \subset \mathbb{R} \longrightarrow S$ . Definimos la función compuesta $g = f \circ \mathbf{x}$ como $g(t) = f\Big [\mathbf{x}\big (t\big )\Big ]$ , entonces $\quad g'\big (t\big ) = \sum_{k=1}^n \cfrac{\partial f}{\partial x_k}\cdot\cfrac{dx_k}{dt}$

Diferencial de un campo vectorial

Sea $\mathbf{f}:S \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$ un campo vectorial. Sea $\mathbf{x} \in S$ e $\mathbf{y}$ un vector cualquiera. Definimos la derivada

$\mathbf{f'}\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \lim_{h \to 0}\cfrac{\mathbf{f}\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big )-\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )}{h}$

Expresando $\mathbf{f'}\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big )$ en función de sus componentes, tenemos $\mathbf{f'}\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \Big [f'_1\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ),\ldots,f'_m\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big )\Big ]$

Decimos que $\mathbf{f}$ es diferenciable $\Leftrightarrow \exists \mathbf{f}_L:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$ , aplicación lineal que verifica:

$\lim_{\big \|\mathbf{v}\big \|\to 0}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}+\mathbf{v}\big ) = \mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )+\mathbf{f}_L\big (\mathbf{v}\big )$ .

Esta es la fórmula de Taylor de primer orden para

\mathbf{f}.\quad \mathbf{f}_L\big (\mathbf{v}\big )=\mathbf{f}'\big( \mathbf{x};\mathbf{v}\big )

La matriz de $\mathbf{f}'$ es su matriz jacobiana.

Diferenciabilidad implica continuidad

Si un campo vectorial $\mathbf{f}$ es diferenciable en $\mathbf{x} \Rightarrow$ es continuo en $\mathbf{x}$ .

Se deduce fácilmente de la fórmula de Taylor de primer orden ya vista.

Regla de la cadena para diferenciales de campos vectoriales

Sea $\mathbf{h}\big (\mathbf{x}\big )=\big (\mathbf{f} \circ \mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big )$ un campo vectorial definido y diferenciable en $\mathbf{x}$ . Su diferencial $\mathbf{h}'\big (\mathbf{x}\big )$ resulta ser

$\mathbf{h}'\big (\mathbf{x}\big )=\mathbf{f}'\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )\Big ]\circ\mathbf{g}'\big (\mathbf{x}\big )$

Condición suficiente para la igualdad de las derivadas parciales mixtas

$\cfrac{\partial^2 f} {\partial x_i \partial x_j}=\cfrac{\partial^2 f} {\partial x_j \partial x_i} \quad \forall i \ne j \Leftrightarrow$ ambas derivadas parciales existen y son continuas en $\mathbf{x}$ .

Aplicaciones del cálculo diferencial

Cálculo de máximos, mínimos y puntos de ensilladura para campos escalares

Un campo escalar tiene un máximo en $\mathbf{x} = \mathbf{a} \Leftrightarrow$ existe una n-bola $B\big (\mathbf{a}\big )\Big |\forall\mathbf{x} \in B\big (\mathbf{a}\big ) \quad f\big (\mathbf{x}\big ) \leqslant f\big (\mathbf{a}\big )$

Un campo escalar tiene un mínimo en $\mathbf{x} = \mathbf{a} \Leftrightarrow$ existe una n-bola $B\big (\mathbf{a}\big )\Big |\forall\mathbf{x} \in B\big (\mathbf{a}\big ) \quad f\big (\mathbf{x}\big ) \geqslant f\big (\mathbf{a}\big )$

Un campo escalar tiene un punto de ensilladura $\Leftrightarrow$

$\forall B\big(\mathbf{a}\big ) \quad \exists \mathbf{x}\big |f\big (\mathbf{x}\big ) \leqslant f\big (\mathbf{a}\big ) \land \exists \mathbf{x}\big |f\big (\mathbf{x}\big ) \geqslant f\big (\mathbf{a}\big )$ .

Función con un punto de ensilladura

Para saber si es uno de los casos anteriores:

Obtenemos $\mathbf{x}\Big |\cfrac{\partial f}{\partial x_k}=0 \qquad \forall k\Big |1\leqslant k\leqslant n$
Obtenemos la matriz hessiana de f. Sea esta .
1. $\mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big )$ es definida positiva $\Rightarrow f$ tiene un mínimo local (mínimo relativo) en $\mathbf{x}$ .
2. $\mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big )$ es definida negativa $\Rightarrow f$ tiene un máximo local (máximo relativo) en $\mathbf{x}$ .
3. $\mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big )$ es indefinida $\Rightarrow f$ tiene un punto de ensilladura en $\mathbf{x}$ .

En lo anteriormente expuesto, hemos supuesto que $\cfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ es continua $\forall i,j\big |1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant n$

Véase también

En inglés: Vector calculus Facts for Kids

Integral de línea
Integral de superficie
Integral múltiple
Multiplicadores de Lagrange
1-forma
coordenadas ortogonales
dual de Hodge
electrostática
magnetostática
operador nabla
teorema de la divergencia
teorema de Green
teorema de Stokes

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