Paradoja de Banach-Tarski para niños
La paradoja de Banach-Tarski es un teorema sorprendente en matemáticas, específicamente en geometría y teoría de conjuntos. Imagina que tienes una bola en el espacio. Este teorema dice que puedes dividir esa bola en un número finito de piezas (que no se superponen) y luego, moviendo y girando esas piezas, ¡puedes juntarlas para formar dos bolas idénticas a la original!
|
De manera más sencilla, a veces se explica así:
|
Esta última idea se conoce como la "paradoja del guisante y el Sol".
Contenido
¿Por qué se llama paradoja?
La razón por la que este teorema se considera una paradoja es porque va en contra de nuestra intuición sobre la geometría. Normalmente, si cortas algo y lo reacomodas sin estirarlo, doblarlo o añadirle más material, su volumen debería ser el mismo. Sin embargo, la paradoja de Banach-Tarski parece "duplicar" el volumen, lo cual es muy extraño.
Este resultado matemático es muy especial porque depende de una regla fundamental de la teoría de conjuntos llamada el axioma de elección. Este axioma permite construir conjuntos de puntos que no tienen un volumen definido de la manera usual. Por eso, las "piezas" de la bola no son como trozos de fruta que puedes tocar, sino colecciones de puntos muy particulares.
En 2005, se demostró que estas piezas se pueden mover de forma continua sin que se superpongan entre sí.
¿Quiénes descubrieron esta paradoja?
En 1924, los matemáticos Stefan Banach y Alfred Tarski publicaron un trabajo donde explicaban cómo hacer esta "descomposición paradójica". Se basaron en ideas previas de Giuseppe Vitali sobre cómo dividir ciertos conjuntos de puntos.
Ellos demostraron una versión más general de la paradoja, que dice que si tienes dos objetos "razonablemente" sólidos (como una bola pequeña y una grande) en un espacio de tres o más dimensiones, puedes cortar uno en piezas y reensamblarlo para formar el otro.
La paradoja de Banach-Tarski no funciona en espacios de una o dos dimensiones (como una línea o un plano). La diferencia es que en tres dimensiones o más, los movimientos de rotación son más complejos y permiten estas descomposiciones tan extrañas.
¿Qué significa "equidescomponible"?
Para entender mejor la paradoja, los matemáticos usan el concepto de "conjuntos equidescomponibles". Imagina que tienes un grupo de movimientos (como rotaciones o traslaciones) que puedes aplicar a un objeto. Dos objetos son "equidescomponibles" si puedes dividir ambos en el mismo número de piezas, y cada pieza de un objeto puede transformarse en una pieza del otro objeto usando solo esos movimientos permitidos.
La paradoja de Banach-Tarski se puede expresar así:
|
De hecho, se ha demostrado que se necesitan al menos cinco piezas para lograr duplicar la bola.
La versión más fuerte de la paradoja dice:
|
Esto significa que, en teoría, podrías cortar un guisante y reensamblarlo para formar el Sol, o viceversa, usando solo movimientos y giros.
El papel del axioma de elección
La construcción de la paradoja de Banach-Tarski depende de forma crucial del axioma de elección. Este axioma es una herramienta matemática que permite a los matemáticos "elegir" un elemento de cada conjunto en una colección infinita de conjuntos, incluso si no hay una regla específica para hacer esa elección.
El axioma de elección es muy útil en muchas áreas de las matemáticas, pero a veces lleva a resultados que parecen ir en contra de nuestra intuición, como la paradoja de Banach-Tarski. Sin embargo, los matemáticos han debatido mucho sobre si se debe rechazar el axioma de elección solo por estas paradojas. Algunos argumentan que también es necesario para demostrar otros teoremas que sí parecen muy lógicos y correctos.
Una idea de cómo funciona la demostración
La demostración de la paradoja de Banach-Tarski es muy compleja, pero se puede entender la idea general en cuatro pasos:
Paso 1: Dividir un grupo especial
Primero, los matemáticos trabajan con un tipo de grupo llamado "grupo libre con dos generadores". Imagina que tienes dos "acciones" básicas, 'a' y 'b', y sus inversas 'a⁻¹' y 'b⁻¹'. Puedes combinarlas para formar secuencias. Este grupo se puede dividir en varias partes y luego, al "mover" esas partes (como si las multiplicaras por 'a' o 'b'), puedes reensamblarlas para formar dos copias del grupo original.
Paso 2: Encontrar rotaciones que se comporten igual
El siguiente paso es encontrar dos rotaciones en el espacio tridimensional que se comporten de la misma manera que las acciones 'a' y 'b' del grupo del Paso 1. Estas rotaciones deben ser especiales para que, al combinarlas, formen un grupo que sea "igual" (matemáticamente hablando) al grupo libre. Esto no es posible en dos dimensiones, por eso la paradoja solo funciona en tres o más.
Paso 3: Aplicar la idea a la superficie de una esfera
Una vez que tienes estas rotaciones, puedes usar el axioma de elección para dividir la superficie de una esfera (como la cáscara de una naranja) en varias piezas. Estas piezas son muy extrañas y están dispersas por toda la superficie. Luego, al girar algunas de estas piezas, puedes reensamblarlas para formar dos superficies de esfera completas.
Paso 4: Extender a la bola completa
Finalmente, para pasar de la superficie de la esfera a la bola sólida, se conecta cada punto de la superficie con el centro de la bola mediante una línea. Así, la división de la superficie se extiende a la bola completa. El punto central de la bola y los puntos especiales en los ejes de rotación se manejan con cuidado para que la demostración funcione.
En resumen, la demostración es un proceso muy ingenioso que usa propiedades abstractas de los grupos y el axioma de elección para lograr este resultado tan sorprendente.
¿Se pueden obtener infinitas bolas?
Sí, usando la misma lógica de la paradoja de Banach-Tarski, es posible cortar una bola en un número finito de piezas y reensamblarlas para obtener cualquier número de copias de la bola original (por ejemplo, 100 bolas, o 1000, o más). Incluso se puede demostrar que se pueden obtener infinitas copias de la bola.
La paradoja de von Neumann en el plano
En un plano (dos dimensiones), la paradoja de Banach-Tarski no funciona si solo se permiten rotaciones y traslaciones, porque estas operaciones siempre conservan el área. Sin embargo, el matemático John von Neumann se preguntó si se podría lograr una paradoja similar si se permitieran otro tipo de transformaciones, como las que estiran o encogen el objeto pero conservan su área.
En 1929, von Neumann demostró que sí es posible. Si se permiten transformaciones afines que conservan el área, entonces un cuadrado en el plano puede dividirse en piezas y reensamblarse para formar dos cuadrados idénticos. Esto también es contraintuitivo, ya que el área se mantiene, pero las piezas se reacomodan de una manera que parece duplicar el objeto.
Esto significa que la existencia de estas paradojas depende mucho de qué tipo de movimientos o transformaciones se permiten en el espacio.
Galería de imágenes
Véase también
En inglés: Banach–Tarski paradox Facts for Kids
