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Orientabilidad para niños

Enciclopedia para niños
Archivo:Torus
Un toro es una superficie orientable
Archivo:Fiddler crab mobius strip
La Banda de Möbius es una superficie no orientable. Observa cómo el cangrejo violinista que se mueve a su alrededor ha girado hacia la izquierda y hacia la derecha con cada vuelta completa. Esto no pasaría si el cangrejo estuviera en la superficie tórica.
Archivo:Steiner's Roman Surface
La superficie de Steiner es no orientable.

En matemáticas, la orientabilidad es una característica de algunos espacios y superficies. Esta propiedad nos permite definir de forma consistente qué es el sentido horario y el sentido antihorario en ese espacio.

Un espacio es orientable si podemos establecer esta definición de manera que siempre sea válida. Si es orientable, hay dos formas posibles de definir estos sentidos, y elegir una de ellas se llama orientación del espacio. Por ejemplo, las esferas son orientables.

Un espacio es no orientable si, al movernos por él en un bucle y volver al punto de partida, lo que antes era "sentido horario" se convierte en "sentido antihorario". Imagina una figura, como un trozo de tarta Small pie.svg, que se mueve continuamente por un bucle en una superficie. Si al volver al inicio, la figura se ve como su imagen especular Pie 2.svg, entonces la superficie no es orientable. La banda de Möbius es un ejemplo famoso de un espacio no orientable.

Existen diferentes maneras de entender la orientabilidad, dependiendo de lo que estemos estudiando. Para espacios más complejos, se usan métodos de homología, que es una rama de las matemáticas.

Superficies orientables

Archivo:Surface orientation
En esta animación, se usa un engranaje que gira según la regla de la mano derecha en la dirección normal de una superficie. La orientación de las curvas en los límites de la superficie se define por la dirección en que se mueven los puntos al ser empujados por el engranaje. En una superficie no orientable, como la cinta de Möbius, el límite tendría que moverse en ambas direcciones a la vez, lo cual no es posible.

Una superficie, como la de una mesa o una pelota, es orientable si una figura plana (como el trozo de tarta Small pie.svg) puede moverse por toda la superficie y regresar a su punto de partida sin que se vea como su propia imagen especular (Pie 2.svg). Si la figura se invierte, la superficie es no orientable.

En una superficie abstracta (imaginaria), es orientable si podemos definir de forma continua un concepto de "rotación en sentido horario" en toda ella. Esto significa que un bucle que gira en un sentido nunca puede transformarse continuamente en un bucle que gire en el sentido opuesto. Esto es lo mismo que decir que la superficie no contiene ninguna parte que se parezca a una banda de Möbius. Por lo tanto, la banda de Möbius es la clave para entender por qué una superficie no es orientable.

Cuando una superficie es orientable, elegir un "sentido horario" (en lugar de "antihorario") se llama "orientación". Una superficie orientable tiene exactamente dos orientaciones posibles.

Ejemplos de superficies

La mayoría de las superficies que vemos en la vida diaria son orientables. Por ejemplo, las esferas (como un balón), los planos (como una hoja de papel) y las superficies tóricas (como una rosquilla) son orientables.

Sin embargo, la banda de Möbius, el plano proyectivo real y la botella de Klein no son orientables. Estas últimas, cuando se visualizan en 3 dimensiones, tienen una sola cara.

Es importante saber que, aunque una superficie no sea orientable, si te mueves por una parte muy pequeña de ella, siempre parecerá tener dos lados. La característica de tener un solo lado significa que puedes ir de un "lado" al "otro" sin cruzar la superficie ni pasar por un borde, solo moviéndote lo suficiente.

Orientación por triangulación

Cualquier superficie se puede dividir en triángulos, como un rompecabezas. A esto se le llama triangulación. Cada triángulo se puede orientar eligiendo una dirección alrededor de su borde. Si hacemos esto de manera que, cuando los triángulos se unen, los bordes vecinos apunten en direcciones opuestas, entonces hemos orientado la superficie. Esto solo es posible si la superficie es orientable, y en ese caso, hay dos orientaciones diferentes.

Si la figura Small pie.svg puede colocarse de forma consistente en todos los puntos de la superficie sin convertirse en su imagen especular, esto nos ayuda a orientar cada triángulo.

Orientabilidad y homología

En términos más avanzados, una superficie S es orientable si su primer grupo de homología (llamado H1(S)) no tiene una parte especial llamada "subgrupo de torsión". Si no es orientable, este grupo sí tiene esa parte, que está relacionada con la presencia de una banda de Möbius en la superficie.

Orientabilidad de variedades

Una variedad es un espacio que, si lo miras de cerca, se parece a un espacio plano. Hay varias formas de definir si una variedad es orientable.

Orientabilidad de variedades diferenciables

Las definiciones más sencillas de orientabilidad se aplican a las variedades "diferenciables", que son variedades suaves y sin esquinas. En estas variedades, podemos usar funciones que nos permiten movernos de una parte a otra del espacio. Si estas funciones "conservan la orientación" (es decir, no voltean las cosas), entonces la variedad es orientable. Un conjunto de estas funciones que conservan la orientación se llama atlas orientado.

También podemos entender la orientabilidad a través de los "vectores tangentes" (flechas que indican la dirección en cada punto) o las "formas de volumen" (que miden el tamaño de las cosas en el espacio). Si podemos definir una forma de volumen que no desaparezca en ningún punto, la variedad es orientable.

La homología y la orientabilidad de las variedades generales

Para variedades más generales, la idea de orientabilidad se basa en "orientaciones locales". Una orientación local alrededor de un punto es como elegir un "sentido" (izquierda/derecha, horario/antihorario) en una pequeña región alrededor de ese punto. Una variedad es orientable si podemos hacer estas elecciones de forma consistente en todo el espacio.

En términos de homología, si una variedad es cerrada y está conectada, es orientable si un grupo especial de homología (el grupo n de homología) es como los números enteros. Elegir un "generador" de este grupo es como elegir una orientación para la variedad.

Orientación y cohomología

Una variedad M es orientable si una propiedad matemática llamada la primera clase de Stiefel-Whitney desaparece. Si esta clase es cero, la variedad es orientable.

La cubierta doble de orientación

Alrededor de cada punto de una variedad, hay dos orientaciones locales posibles. Podemos construir un nuevo espacio llamado la doble cubierta de orientación. Este nuevo espacio es como tener dos copias de la variedad original, una para cada orientación. Si la variedad original no es orientable, esta doble cubierta es un espacio conectado y siempre es orientable.

Variedades con borde

Si una variedad tiene un "borde" (como un disco tiene un borde circular), la orientación de la variedad principal también define una orientación para su borde.

Doble recubrimiento orientable

Para una variedad conectada M, podemos crear un espacio llamado M. Este espacio consiste en pares de (punto, orientación en ese punto). Si M es suave, podemos definir una orientación en el espacio tangente de cada punto. Este M es un espacio de "cubierta" que tiene el doble de puntos que M. Se llama doble cubierta orientable porque siempre es orientable. Si M no es orientable, entonces M estará conectado.

Orientación de haces vectoriales

Un "haz vectorial" es como un conjunto de flechas (vectores) unidas a cada punto de un espacio. Un haz vectorial es "orientable" si podemos reducir su estructura a un grupo especial de matrices con determinante positivo. Para el "haz tangente" de una variedad (que contiene todos los vectores tangentes), esta reducción es posible si la variedad es orientable. De hecho, esta es una forma de definir la orientabilidad de una variedad suave: es orientable si su haz tangente es orientable.

Conceptos relacionados

Geometría lorentziana

En la geometría lorentziana, que se usa en la relatividad general para describir el espacio-tiempo, hay dos tipos de orientabilidad: la orientabilidad espacial y la orientabilidad temporal.

  • La orientabilidad espacial significa que si dos observadores que empiezan con la mano derecha se encuentran de nuevo en otro punto del espacio-tiempo, seguirán siendo "diestros" el uno con respecto al otro.
  • La orientabilidad temporal significa que los dos observadores siempre estarán de acuerdo en la dirección del tiempo en ambos puntos de su encuentro. Es decir, siempre podrán ponerse de acuerdo sobre qué evento ocurrió antes.

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Orientability Facts for Kids

  • Orientación de una curva
  • Haz de orientación
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Orientabilidad para Niños. Enciclopedia Kiddle.