Radicación para niños
[[Archivo:RootAndPowerFunctions.svg|thumb|right|250px|En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus potencias, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación [[función identidad|y Plantilla:= x]], es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.]]
En las matemáticas, la radicación es una operación que nos ayuda a encontrar la "raíz" de un número. Es como el proceso inverso de la potenciación (elevar un número a una potencia).
Imagina que tienes un número a y quieres encontrar otro número x que, al multiplicarse por sí mismo n veces, te dé a. Ese número x es la raíz.
Así, en los números reales, cuando buscamos una raíz:
- Si el orden n (llamado índice) es impar, como 3, 5, etc., la raíz tiene un solo resultado. Por ejemplo, la raíz cúbica de -8 es -2, porque (-2) x (-2) x (-2) = -8.
- Si el orden n es par, como 2, 4, etc., la raíz puede tener dos resultados: uno positivo y uno negativo. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 puede ser 3 o -3, porque 3 x 3 = 9 y (-3) x (-3) = 9.
- Las raíces de orden dos se llaman raíces cuadradas. Se escriben como √a o ±√a.
- La raíz de orden tres se llama raíz cúbica. Se escribe como ³√a.
- Las raíces de órdenes mayores se nombran usando números ordinales, como raíz cuarta, raíz quinta, etc.
La radicación se considera la operación inversa de la potenciación solo cuando el índice es impar. Por ejemplo, {{{1}}} y {{{1}}}. Pero si el índice es par, no son inversas directas, ya que {{{1}}} y {{{1}}}. Aquí obtenemos dos resultados, no solo el -3 original.
Contenido
¿Qué es la Radicación?
Definición y Símbolos
La raíz enésima de un número a es cualquier número x que, al ser elevado a la potencia n, nos da a. Esto se puede escribir como: {{{1}}}
El símbolo para las raíces cuadradas (cuando n es 2) a menudo se escribe sin el número 2: √a en lugar de ²√a. Si n es 1, la raíz es el mismo número: {{{1}}}.
Dentro de los números reales positivos, siempre encontramos una única raíz enésima que también es positiva. Si el número a es negativo, solo existirá una raíz real si el índice n es impar. Por ejemplo, {{{1}}}.
Es importante saber que la raíz enésima de un número negativo no es un número real si el índice n es par. Por ejemplo, no hay un número real que, multiplicado por sí mismo, dé un resultado negativo (como √-4).
Cómo se relaciona la Radicación con la Potenciación
La Radicación como Potencia Fraccionaria
La radicación de orden n y la potenciación del mismo orden se "cancelan" entre sí. Si elevas una raíz enésima a la potencia n, obtienes el número original: {{{1}}}
Una forma muy útil de entender la radicación es verla como una potenciación con un exponente en forma de fracción. La raíz de orden n de un número es lo mismo que elevar ese número a la potencia 1/n: {{{1}}}
Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es 3, y 91/2 también es 3.
Raíces de Números Negativos
Cuando el índice de la raíz es impar, podemos encontrar la raíz de un número negativo. Por ejemplo, {{{1}}}, y la raíz cúbica de -8 es -2.
Sin embargo, para evitar confusiones y mantener las propiedades de las raíces, a menudo se escribe la raíz impar de un número negativo sacando el signo negativo fuera del símbolo de la raíz. Así, en lugar de ³√-8, se prefiere escribir -³√8, que también es -2.
Las raíces con índice par de números negativos no son números reales. Esto se debe a que cualquier número real elevado a una potencia par (como 2, 4, etc.) siempre da un resultado positivo o cero. Por ejemplo, no existe un número real x tal que {{{1}}}.
Propiedades de la Radicación
Las propiedades de la potenciación también se aplican a la radicación, siempre que los números dentro de la raíz (radicandos) sean positivos.
Raíz de un Producto
La raíz de una multiplicación es igual a la multiplicación de las raíces de cada número.
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Ejemplo: {{{1}}}
Raíz de un Cociente
La raíz de una división (o fracción) es igual a la división de la raíz del número de arriba (numerador) entre la raíz del número de abajo (denominador).
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Ejemplo: {{{1}}}
Raíz de una Raíz
Para calcular la raíz de otra raíz, simplemente multiplicamos los índices de las raíces y mantenemos el número original.
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Ejemplo: {{{1}}}
Potencia de una Raíz
Para elevar una raíz a una potencia, podemos elevar el número dentro de la raíz a esa potencia.
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Ejemplo: {{{1}}}
Simplificación de Expresiones con Raíces
Una expresión con raíces está en su forma simplificada si cumple estas reglas:
- No hay números dentro de la raíz que puedan ser elevados a una potencia igual o mayor que el índice de la raíz.
- No hay fracciones dentro del símbolo de la raíz.
- No hay raíces en el denominador de una fracción.
Por ejemplo, para simplificar √(32/5): 1. Busca cuadrados perfectos dentro de la raíz: {{{1}}} 2. Separa la fracción: 4√2 / √5 3. Elimina la raíz del denominador multiplicando arriba y abajo por √5: {{{1}}}
Suma y Resta de Raíces
Solo puedes sumar o restar raíces si son "semejantes". Las raíces semejantes son aquellas que, después de simplificarlas, tienen el mismo índice y el mismo número dentro de la raíz.
Para sumarlas o restarlas, simplemente sumas o restas los números que están fuera de la raíz, manteniendo la raíz igual. Ejemplo: {{{1}}} Si las raíces no son semejantes, no se pueden sumar ni restar directamente.
Racionalización
Racionalizar una expresión significa quitar las raíces del denominador de una fracción. Esto se hace multiplicando el numerador y el denominador por un factor especial que elimina la raíz de abajo.
Por ejemplo, si tienes 1/√3, multiplicas arriba y abajo por √3: {{{1}}}
Cálculo de la Raíz Enésima
Usando Logaritmos y Exponenciales
Para calcular la raíz enésima de un número x (que debe ser positivo), se pueden usar las funciones logaritmo y exponencial: {{{1}}}
Método de Aproximación
Existen algoritmos para calcular raíces enésimas de forma aproximada. Uno de ellos es el método de Newton, que empieza con un valor inicial y lo va mejorando paso a paso hasta alcanzar la precisión deseada.
Por ejemplo, para encontrar la raíz quinta de 34, sabemos que {{{1}}}. Podemos usar una fórmula de aproximación: {{{1}}} Esta aproximación es muy cercana al valor real.
Galería de imágenes
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En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus potencias, en el intervalo unitario [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.
Véase también
En inglés: Nth root Facts for Kids
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