Apotema para Niños

La apotema es una medida importante en geometría. Imagina un polígono regular, que es una figura con todos sus lados y ángulos iguales, como un cuadrado o un hexágono. La apotema es la distancia más corta desde el centro de ese polígono hasta el punto medio de cualquiera de sus lados. Siempre forma un ángulo recto (90 grados) con el lado. También es igual al radio de la circunferencia que se puede dibujar justo dentro del polígono, tocando todos sus lados.

En una pirámide regular, que tiene una base de polígono regular y caras triangulares que se unen en un punto (el vértice), la apotema es la altura de cada una de esas caras triangulares. Se mide desde el vértice de la pirámide hasta el punto medio de un lado de la base.

Contenido

Apotema y Sagita
- Medidas y Fórmulas
Cálculo de la Apotema y la Sagita en Polígonos Regulares
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Véase también

Apotema y Sagita

Apotema y sagita en un cuadrado inscrito

Cuando tienes un polígono regular dibujado dentro de una circunferencia (se dice que el polígono está "inscrito"), el radio de esa circunferencia se divide en dos partes: la apotema y la sagita. La sagita es la parte del radio que va desde el punto medio de un lado del polígono hasta el borde de la circunferencia. Es como la "flecha" que apunta desde el lado hacia el arco de la circunferencia.

El diccionario Larousse define la sagita como la parte del radio que está entre el punto medio de un arco de circunferencia y el punto medio de su cuerda.

Medidas y Fórmulas

Para un polígono regular con $n$ lados, donde cada lado mide $l$ y la apotema es $a$ :

El perímetro (la suma de todos sus lados) es $P = n \cdot l$ .
El área (la superficie que ocupa) es $A = \frac{P \cdot a}{2}$ .

La apotema ( $a$ ) se puede calcular usando el Teorema de Pitágoras si conoces el radio ( $r$ ) de la circunferencia que lo inscribe y la mitad de la longitud de un lado (Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): l/2 ): $a = \sqrt{r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}$

Una vez que tienes la apotema, la sagita ( $s$ ) se calcula fácilmente: $s = r - a$

Si conoces el radio ( $r$ ) y el número de lados ( $n$ ) de un polígono regular inscrito, puedes calcular la longitud de cada lado ( $l$ ) usando esta fórmula: $\theta = \frac{360^\circ}{n}$ $l = 2 \cdot r \cdot \sen(\theta / 2)$

También es posible encontrar el radio de una circunferencia si conoces la longitud de una cuerda ( $L$ ) y la distancia ( $d$ ) desde el punto medio de la cuerda hasta el punto medio del arco que forma: $r = \frac{(L/2)^2 + d^2}{2 \cdot d}$ En esta fórmula, un lado del polígono ( $l$ ) es como la cuerda ( $L$ ), y la sagita ( $s$ ) es como la distancia ( $d$ ).

Cálculo de la Apotema y la Sagita en Polígonos Regulares

Fórmulas de la apotema y de la sagita

Un polígono regular tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos internos iguales. Esto significa que la apotema y la sagita tendrán valores específicos para cada tipo de polígono regular.

Vamos a calcular la apotema y la sagita para algunos polígonos regulares, asumiendo que el radio de la circunferencia que los inscribe es de $r = 10~\mathrm{cm}$ en todos los ejemplos.

Triángulo Equilátero (3 lados)

Un triángulo equilátero es un polígono regular de 3 lados. $\theta = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$ Longitud de cada lado $l = 2 \cdot 10 \cdot \sen(120^\circ\! / 2) \approx 17{,}3205~\mathrm{cm}$ Apotema $a \approx \sqrt{10^2 - \left(\frac{17{,}3205}{2}\right)^2} = 5~\mathrm{cm}$ Sagita $s = 10 - 5 = 5~\mathrm{cm}$

Cuadrado (4 lados)

Un cuadrilátero regular es un cuadrado. $\theta = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$ Longitud de cada lado $l = 2 \cdot 10 \cdot \sen(90^\circ\! / 2) \approx 14{,}1421~\mathrm{cm}$ Apotema Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): a \approx \sqrt{10^2 - \left(\frac{14{,}1421}{2}\right)^2} \approx 7{,}07107~\mathrm{cm} Sagita $s \approx 10 - 7{,}07107 \approx 2{,}92893~\mathrm{cm}$

Hexágono (6 lados)

Un hexágono regular tiene 6 lados. $\theta = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ Longitud de cada lado $l = 2 \cdot 10 \cdot \sen(60^\circ\! / 2) = 10~\mathrm{cm}$ Apotema $a = \sqrt{10^2 - \left(\frac{10}{2}\right)^2} \approx 8{,}66025~\mathrm{cm}$ Sagita $s \approx 10 - 8{,}66025 \approx 1{,}33975~\mathrm{cm}$

Heptágono (7 lados)

Un heptágono regular tiene 7 lados. $\theta = \frac{360^\circ}{7} \approx 51{,}4286^\circ$ Longitud de cada lado $l \approx 2 \cdot 10 \cdot \sen(51{,}4286^\circ\! / 2) \approx 8{,}67767~\mathrm{cm}$ Apotema $a \approx \sqrt{10^2 - \left(\frac{8{,}67767}{2}\right)^2} \approx 9{,}00969~\mathrm{cm}$ Sagita $s \approx 10 - 9{,}00969 \approx 0{,}990311~\mathrm{cm}$

Octógono (8 lados)

Un octógono regular tiene 8 lados. $\theta = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$ Longitud de cada lado $l = 2 \cdot 10 \cdot \sen(45^\circ\! / 2) \approx 7{,}65367~\mathrm{cm}$ Apotema $a \approx \sqrt{10^2 - \left(\frac{7{,}65367}{2}\right)^2} \approx 9{,}23880~\mathrm{cm}$ Sagita $s \approx 10 - 9{,}23880 \approx 0{,}761205~\mathrm{cm}$

Polígono de 360 lados

Imagina un polígono con muchísimos lados, como 360. $\theta = \frac{360^\circ}{360} = 1^\circ$ Longitud de cada lado $l = 2 \cdot 10 \cdot \sen(1^\circ\! / 2) \approx 0{,}174531~\mathrm{cm}$ Apotema $a \approx \sqrt{10^2 - \left(\frac{0{,}174531}{2}\right)^2} \approx 9{,}99962~\mathrm{cm}$ Sagita $s \approx 10 - 9{,}99962 \approx 0{,}000380769~\mathrm{cm}$

Como puedes ver, a medida que el número de lados de un polígono regular inscrito aumenta, la longitud de cada lado se hace muy pequeña. El polígono se parece cada vez más a una circunferencia. Por eso, la sagita se vuelve muy pequeña (tiende a cero) y la apotema se acerca mucho al radio de la circunferencia.

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Apotema de un hexágono.

Véase también

En inglés: Apothem Facts for Kids

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