Vector axial para niños

En física y matemáticas, un vector axial o seudovector es una cantidad que se parece mucho a un vector normal (también llamado "vector polar") en muchas situaciones. Sin embargo, su comportamiento es diferente cuando se aplican ciertas transformaciones geométricas, como las reflexiones (como si lo vieras en un espejo).

Imagina un vector normal: si lo ves en un espejo, su reflejo apunta en la dirección opuesta. Pero un seudovector, al reflejarse, parece que debería cambiar de dirección, pero en realidad mantiene su sentido original o cambia de una manera especial. Esto significa que su "orientación" no sigue las mismas reglas que un vector verdadero bajo todas las transformaciones. Por ejemplo, el momento angular es un seudovector. Si cambias el punto de referencia, el momento angular puede parecer que invierte su sentido, algo que no ocurre con los vectores normales.

Un ejemplo sencillo de seudovector es la dirección "normal" a un plano (una línea perpendicular a él). Si defines un plano con dos vectores que no son paralelos, el producto vectorial de esos dos vectores te da una línea perpendicular al plano. Pero hay dos posibles líneas perpendiculares (una a cada lado del plano). La regla de la mano derecha nos ayuda a elegir cuál. Esta característica hace que sea un seudovector. Esto es importante en los gráficos de computadora cuando se trabaja con las superficies. En tres dimensiones, el rotacional de un campo vectorial y el producto vectorial de dos vectores normales también son seudovectores.

Muchas cantidades en física se comportan como seudovectores, como el campo magnético y la velocidad angular. En matemáticas, en tres dimensiones, los seudovectores son como los bivectores. El término "seudo" se usa también para otras cantidades como "seudoescalar" o "seudotensor", que también tienen un comportamiento especial bajo ciertas transformaciones.

Ejemplos de seudovectores en física

¿Qué cantidades físicas son seudovectores?

Algunos ejemplos importantes de seudovectores en física son:

• El momento de fuerza (o par de torsión).
• La velocidad angular (qué tan rápido gira algo y en qué dirección).
• El momento angular (la cantidad de movimiento de rotación de un objeto).
• El campo magnético (la fuerza que rodea a un imán o a una corriente eléctrica).
• La vorticidad (una medida de la rotación de un fluido).
• El momento magnético (la fuerza de un imán).

Cada rueda del automóvil de la izquierda, que se aleja de un observador, tiene un momento angular (representado por un seudovector) que apunta hacia la izquierda. Lo mismo ocurre con la imagen especular del automóvil. El hecho de que las flechas apunten en la misma dirección, en lugar de ser imágenes especulares entre sí, indica que la magnitud se representa mediante un seudovector.

Pensemos en el momento angular de las ruedas de un coche. Si vas en un coche y miras hacia adelante, el momento angular de cada rueda apunta hacia la izquierda. Si te miras en un espejo, el reflejo del coche también se aleja, y las ruedas siguen girando hacia adelante. El momento angular de las ruedas en el reflejo sigue apuntando hacia la izquierda, no hacia la derecha como lo haría un vector normal. Esto demuestra que el momento angular es un seudovector.

La diferencia entre vectores normales y seudovectores es clave para entender cómo la simetría afecta los sistemas físicos. Por ejemplo, un bucle de corriente eléctrica crea un campo magnético. Si reflejamos este sistema en un espejo, el campo magnético no cambia de sentido. Esto es porque el campo magnético es un seudovector, y su comportamiento bajo reflexión es diferente al de un vector normal, lo que le permite mantener su sentido correcto.

En física, los seudovectores suelen aparecer cuando se calcula el producto vectorial de dos vectores normales o el "rotacional" de un campo vectorial normal. El producto vectorial y el rotacional se definen usando la regla de la mano derecha. Si usáramos la regla de la mano izquierda, los seudovectores tendrían la dirección opuesta, pero las leyes de la física seguirían funcionando igual.

Para trabajar con vectores y seudovectores numéricamente, necesitamos un sistema de coordenadas. Los vectores se representan como una lista de números (por ejemplo, (x, y, z)). Los seudovectores también se representan así. Sin embargo, al cambiar entre sistemas de coordenadas (como de uno "diestro" a uno "zurdo"), los seudovectores no se transforman igual que los vectores normales. Si los tratamos como vectores normales, obtendremos un cambio de signo incorrecto. Por eso, es importante saber si un conjunto de números representa un vector o un seudovector.

Comportamiento de los seudovectores

¿Cómo se transforman los seudovectores?

En física, un "vector" (incluyendo vectores normales y seudovectores) debe tener componentes que se transformen de una manera específica cuando el universo gira. Si todo en el universo girara, un vector de desplazamiento (como la posición de un objeto) giraría de la misma manera. Matemáticamente, si una rotación se describe con una matriz R, un vector normal v se transforma en v′ = Rv.

Pero si la rotación es "impropia" (como una reflexión en un espejo, que puede ir seguida de una rotación), un vector normal v se transforma en v′ = Rv, mientras que un seudovector v se transforma en v′ = −Rv. La diferencia es ese signo menos extra.

¿Cómo se comportan los seudovectores al sumarlos o multiplicarlos?

• Suma y resta:

* La suma o resta de dos seudovectores da como resultado otro seudovector. * La suma o resta de dos vectores normales da como resultado otro vector normal. * Multiplicar un vector normal o un seudovector por un número real (un escalar) mantiene su tipo (vector normal o seudovector).

• Suma de un vector normal y un seudovector:

* Si sumas un vector normal y un seudovector, el resultado no es ni un vector normal ni un seudovector puro. Esto significa que si esta suma representara una cantidad física, las leyes de la física no se verían iguales si el universo se reflejara en un espejo. Esto es lo que ocurre en la interacción débil, donde ciertas desintegraciones radiactivas se comportan de manera diferente a la "izquierda" y a la "derecha".

¿Cómo se comportan los seudovectores en los productos vectoriales?

El producto vectorial es una operación matemática que se usa mucho en física.

• Vector normal × Vector normal = Seudovector
• Seudovector × Seudovector = Seudovector
• Vector normal × Seudovector = Vector normal
• Seudovector × Vector normal = Vector normal

Estas reglas nos ayudan a clasificar las cantidades físicas. Por ejemplo, un vector de desplazamiento es un vector normal. La velocidad es un vector de desplazamiento dividido por el tiempo, así que también es un vector normal. El momento es la velocidad multiplicada por la masa, por lo que es un vector normal. El momento angular es el producto vectorial de un desplazamiento (vector normal) y un momento (vector normal), por lo tanto, es un seudovector. El par de torsión es el momento angular dividido por el tiempo, así que también es un seudovector.

La regla de la mano derecha

La regla de la mano derecha es una convención que usamos para definir la dirección de los seudovectores, como el producto vectorial. Si cambiáramos esta regla por la "regla de la mano izquierda", los seudovectores cambiarían de signo (apuntarían en la dirección opuesta). Sin embargo, esto no tendría consecuencias físicas, excepto en fenómenos muy específicos donde hay una ruptura de la paridad, como en algunos tipos de radiactividad.

Formalización y álgebra geométrica

En matemáticas más avanzadas, los seudovectores se pueden definir de manera más formal. En un espacio de "n" dimensiones, un seudovector es un elemento de la (n-1)-ésima "potencia exterior" del espacio. Esto significa que, por ejemplo, en 3D, un seudovector es un "bivector" (un elemento que representa un área orientada).

El álgebra geométrica es una forma de matemáticas que usa vectores como elementos básicos para construir otros elementos. En este contexto, un seudovector es una combinación específica de estos elementos. En tres dimensiones, el bivector más general (que representa un plano) es un seudovector. En cuatro dimensiones, los seudovectores son "trivectores" (elementos que representan un volumen orientado).

Es importante recordar que, a pesar de su nombre, los seudovectores son "vectores" en el sentido de que son elementos de un espacio vectorial. La idea de que "un seudovector es diferente de un vector" solo es cierta bajo una definición más específica de "vector" que se usa en física para distinguir su comportamiento bajo reflexiones.

Véase también

En inglés: Pseudovector Facts for Kids

• Producto exterior
• Álgebra de Clifford
• Orientabilidad