Sumatorio para Niños

Para el tratamiento matemático formal, véase Serie matemática.

Letra sigma mayúscula, notación del sumatorio.

El sumatorio o sumatoria es una forma especial de escribir sumas largas en Matemáticas. Imagina que necesitas sumar muchos números, a veces incluso una cantidad muy grande. Para no tener que escribir todos los números uno por uno, usamos un símbolo especial. Este símbolo es la letra griega sigma mayúscula ( $\Sigma$ , ∑).

Aunque a veces se usa la palabra "sumatoria", muchos matemáticos prefieren decir simplemente "suma" o "operación de suma" para referirse a esta idea.

Contenido

¿Cómo funciona la notación sigma?
- El símbolo sigma mayúscula
Fórmulas para calcular sumas más rápido
Errores comunes al usar el término
Véase también

¿Cómo funciona la notación sigma?

El símbolo sigma mayúscula

La notación con la letra griega sigma mayúscula (Σ) se usa así:

$\sum_{i=m}^n a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} +\cdots + a_n$

Esto se lee como "la suma de a sub-i, desde que i vale m hasta que i vale n".

La letra i es el índice de suma. Es como un contador que va cambiando.
El número m es el límite inferior. Es el primer valor que toma i.
El número n es el límite superior. Es el último valor que toma i.
La expresión a sub-i representa los números que vamos a sumar.

El índice i siempre empieza en m y va aumentando de uno en uno hasta llegar a n. Es importante que m sea menor o igual que n ( $m \leq n$ ).

Casos especiales de la suma

Si m y n son el mismo número, solo sumamos un término:

m = n \; , \quad \sum_{i=m}^n a_i = \sum_{i=m}^m a_i = a_m

Si m es mayor que n, la suma es cero. Esto es porque no hay números para sumar en ese rango:

m > n \; , \quad \sum_{i=m}^n a_i = 0

El número de términos que se suman es $n-m+1$ . Por ejemplo, si sumamos desde 1 hasta 6, hay Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): 6-1+1 = 6 términos.

Ejemplos de sumas con sigma

Para sumar los cuadrados de los primeros seis números enteros positivos, escribimos:

\sum_{i=1}^{6}{i^2} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2=91.

La suma de los números no cambia si los ordenamos de otra manera. Esto se debe a propiedades de la suma como la conmutatividad y la asociatividad.

¿Para qué se usa el sumatorio?

Los sumatorios son muy útiles para escribir fórmulas de manera corta y clara. Por ejemplo, para calcular el promedio de un grupo de números, se usa esta expresión:

\overline{x} = \frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n x_i}{n}

Aquí, $\overline{x}$ es el promedio, $x_i$ son los números individuales y $n$ es la cantidad total de números.

Fórmulas para calcular sumas más rápido

A veces, sumar muchos números uno por uno es muy tardado. Por suerte, existen fórmulas que nos ayudan a calcular sumatorios de forma más rápida.

Suma de los primeros números naturales

Para sumar los primeros n números naturales (1, 2, 3, ... hasta n), usamos esta fórmula:

\sum^{n}_{i = 1} i = \frac{n ( n + 1 )}{2}

Por ejemplo, para sumar los primeros 1000 números naturales:

\sum^{1000}_{i = 1} i = \frac{1000 \; (1000 +1)}{2} = 500\;500

Suma de números naturales en un rango

Si quieres sumar números naturales desde un número m hasta un número n, puedes usar esta fórmula: $\sum_{i=m}^n i = \frac{1}{2}(n^{2}-m^{2}+n+m)$ Por ejemplo, para sumar los números del 100 al 200: $\sum_{i=100}^{200}i=\frac{1}{2}(200^{2}-100^{2}+200+100)=15\;150$

Propiedades importantes de la suma

Los sumatorios tienen reglas que nos permiten manejarlos:

Si multiplicas cada término por una constante C, puedes sacar la constante fuera del sumatorio:

\sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n)

Puedes sumar o restar dos sumatorios si tienen los mismos límites:

\sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right]

Si divides un rango de suma en dos partes, la suma total es la suma de las partes:

\sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)

Algunas sumas de expresiones con potencias

Suma de una constante C repetida n-m+1 veces:

\sum_{i=m}^n C = C\cdot (n-m+1)

Suma de los cuadrados de los números naturales:

\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Suma de los cubos de los números naturales:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

Algunas sumas con términos exponenciales

Cuando a es un número constante diferente de 1:

Suma de una serie geométrica:

\sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a}

Errores comunes al usar el término

En español, a veces se usa la palabra "sumatoria" por influencia del inglés. Sin embargo, la forma más tradicional y correcta en español es decir "suma" o "sumatorio". Por ejemplo, decimos "la suma de dos y tres es cinco", no "el sumatorio de dos y tres es cinco".

Véase también

En inglés: Sum Facts for Kids

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