Sucesión de Cauchy para niños
Una sucesión de Cauchy es un tipo especial de sucesión en el mundo de las matemáticas. Imagina una lista muy larga de números que siguen un orden. Una sucesión de Cauchy es aquella en la que, si avanzas lo suficiente en la lista, los números se van acercando cada vez más entre sí. Es como si se "apretaran" cada vez más.
Esta idea es muy importante en matemáticas y lleva el nombre del matemático francés Augustin Louis Cauchy. La razón por la que estas sucesiones son tan interesantes es que, en ciertos tipos de "espacios" matemáticos (llamados espacios completos), si una sucesión es de Cauchy, ¡siempre se acerca a un número específico! Es decir, es una sucesión convergente. A veces es más fácil saber si una sucesión es de Cauchy que encontrar el número exacto al que se acerca.
Contenido
¿Qué es una Sucesión de Cauchy?
Entendiendo la Definición
Para entender una sucesión de Cauchy, piensa en una lista de números: x1, x2, x3, y así sucesivamente. Decimos que esta lista es una sucesión de Cauchy si podemos hacer que los números estén tan cerca como queramos, simplemente yendo lo suficientemente lejos en la lista.
Imagina que eliges una distancia muy, muy pequeña (la llamamos "épsilon", que se escribe con la letra griega ε). Si la sucesión es de Cauchy, siempre podrás encontrar un punto en la lista a partir del cual, cualquier par de números que elijas después de ese punto, estarán más cerca entre sí que esa pequeña distancia ε que elegiste.
Por ejemplo, si tienes los números x100 y x101, y luego x200 y x201, la distancia entre los números más avanzados en la lista será cada vez más pequeña.
Propiedades Importantes
Las sucesiones de Cauchy tienen algunas características especiales:
- Si una sucesión se acerca a un número: Si una sucesión de números se acerca a un valor específico (es decir, es una sucesión convergente), entonces siempre será una sucesión de Cauchy. Los números se van juntando alrededor de ese valor final.
- Están "acotadas": Esto significa que los números de la sucesión no se van al infinito. Siempre hay un número máximo y un número mínimo que la sucesión no supera. Es como si estuvieran dentro de un "recuadro" en la recta numérica.
Sucesiones de Cauchy en Diferentes Espacios
En la Recta Numérica
Cuando hablamos de números reales (todos los números que puedes imaginar en una línea, incluyendo decimales y fracciones), una sucesión de Cauchy significa que los números de la lista se van acercando mucho entre sí. La "distancia" entre ellos se mide con el valor absoluto (por ejemplo, la distancia entre 5 y 3 es 2, que es el valor absoluto de 5-3).
En la recta numérica, si una sucesión es de Cauchy, ¡siempre se acerca a un número real! Esto es una propiedad muy importante de los números reales.
En Otros Espacios Matemáticos
La idea de una sucesión de Cauchy también se puede aplicar en otros "espacios" matemáticos, que son como conjuntos de puntos donde podemos medir distancias. Estos se llaman espacios métricos.
En un espacio métrico, la definición es la misma: los elementos de la sucesión se van acercando cada vez más entre sí, sin importar cuán pequeña sea la distancia que elijamos.
Sin embargo, no en todos los espacios una sucesión de Cauchy se acerca a un punto dentro de ese mismo espacio. Por ejemplo, si solo consideramos los números racionales (números que se pueden escribir como fracción), una sucesión de Cauchy podría acercarse a un número que no es racional (como el número pi o la raíz cuadrada de 2). En ese caso, la sucesión de Cauchy no "converge" dentro del espacio de los números racionales.
¿Qué es un Espacio Completo?
Un espacio métrico se llama completo si cada vez que tienes una sucesión de Cauchy en ese espacio, ¡siempre se acerca a un elemento que también está en ese mismo espacio! Es como si el espacio no tuviera "agujeros" o "saltos" donde las sucesiones de Cauchy pudieran "caerse" fuera del espacio.
Ejemplos de Espacios Completos
- Los números reales: Como mencionamos, la recta numérica es un espacio completo. Cualquier sucesión de Cauchy de números reales se acerca a otro número real.
- Los números complejos: Estos números, que incluyen una parte "imaginaria", también forman un espacio completo.
- El espacio tridimensional (R³): Imagina todos los puntos en el espacio que nos rodea. Este espacio también es completo.
Galería de imágenes
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Agustin Louis Cauchy, matemático francés
Véase también
En inglés: Cauchy sequence Facts for Kids
