Paradoja de Russell para niños
La paradoja de Russell es un problema lógico muy interesante, también conocida como la paradoja del barbero. Fue descubierta por el matemático Bertrand Russell. Esta paradoja mostró que algunas ideas iniciales sobre cómo agrupar cosas (lo que llamamos teoría de conjuntos), propuestas por matemáticos como Georg Cantor y Gottlob Frege, tenían una contradicción.
Contenido
¿Qué es un Conjunto y la Paradoja de Russell?
Un conjunto es una colección de elementos o cosas. Por ejemplo, el conjunto de tus lápices, el conjunto de los animales de una granja, o el conjunto de los números pares.
Conjuntos que se contienen a sí mismos
Imagina un conjunto que contiene "ideas abstractas". Este conjunto es una idea abstracta, así que podría decirse que se contiene a sí mismo. Otro ejemplo podría ser una bolsa que contiene otras bolsas. La bolsa grande es una bolsa, así que se contiene a sí misma.
Conjuntos que no se contienen a sí mismos
Ahora, piensa en un conjunto de "libros". Este conjunto no es un libro en sí mismo, ¿verdad? Así que no se contiene a sí mismo. La mayoría de los conjuntos son de este tipo.
El problema de la paradoja
Russell se preguntó: ¿Qué pasa con el conjunto que agrupa a todos los conjuntos que NO se contienen a sí mismos? Llamemos a este el "Conjunto R".
- Si el Conjunto R se contiene a sí mismo, entonces, por su propia definición (que solo contiene conjuntos que NO se contienen a sí mismos), ¡no debería contenerse a sí mismo! Esto es una contradicción.
- Si el Conjunto R NO se contiene a sí mismo, entonces, por su propia definición (que contiene a todos los conjuntos que NO se contienen a sí mismos), ¡sí debería contenerse a sí mismo! Esto también es una contradicción.
Como ves, no importa cómo lo pienses, siempre llegamos a una contradicción. Esto significa que la idea de crear un conjunto así, basándose en esas reglas, lleva a un problema lógico.
La Paradoja del Barbero: Un Ejemplo Sencillo
Para entender mejor la paradoja de Russell, se usa una historia más sencilla, la de la paradoja del barbero:
En un pueblo, hay un barbero. El emir (el gobernante) de ese pueblo da una regla muy estricta: el barbero solo puede afeitar a aquellas personas que NO pueden afeitarse a sí mismas. Además, todos en el pueblo deben estar afeitados.
El barbero, llamado As-Samet, se encuentra en un gran dilema:
- Si As-Samet se afeita a sí mismo, entonces está afeitando a alguien que SÍ puede afeitarse a sí mismo. ¡Pero la regla dice que solo debe afeitar a quienes NO pueden afeitarse a sí mismos! Así que no debería afeitarse.
- Si As-Samet NO se afeita a sí mismo, entonces es una persona que NO puede afeitarse a sí misma. Según la regla, el barbero debe afeitar a todas las personas que no pueden afeitarse a sí mismas. ¡Así que As-Samet debería afeitarse a sí mismo!
¡Es un círculo sin fin! El barbero se afeita a sí mismo si y solo si no se afeita a sí mismo. Esta historia muestra la misma contradicción que la paradoja de Russell con los conjuntos.
Historia de la Paradoja de Russell
Russell descubrió esta paradoja alrededor de 1901. Estaba estudiando las ideas de otros matemáticos sobre los conjuntos y encontró este problema.
En 1902, Russell le escribió una carta a Gottlob Frege, otro matemático importante, para contarle sobre su descubrimiento. Frege estaba a punto de publicar un libro muy importante sobre lógica y matemáticas, y la paradoja de Russell demostró que había un error en sus ideas. Frege tuvo que añadir un apéndice a su libro para hablar de este problema.
Russell también escribió sobre la paradoja en su propio libro, The Principles of Mathematics, en 1903. La paradoja de Russell fue un gran desafío para los matemáticos de la época, porque mostraba que las bases de la teoría de conjuntos, que es fundamental para muchas áreas de las matemáticas, no eran tan sólidas como se pensaba.
Otros matemáticos, como Ernst Zermelo y Ludwig Wittgenstein, también estudiaron esta paradoja y propusieron diferentes formas de entenderla o resolverla.
Russell, junto con Alfred North Whitehead, intentó resolver este problema en su obra Principia Mathematica. Crearon una nueva forma de organizar los conjuntos, llamada "teoría de tipos", para evitar estas contradicciones. Aunque lograron mucho, el matemático Kurt Gödel demostró más tarde que siempre habrá límites en lo que se puede probar en sistemas matemáticos complejos.
La paradoja de Russell sigue siendo un tema importante en la lógica y las matemáticas, y se celebró una conferencia internacional en 2001 para conmemorar sus primeros cien años.
Galería de imágenes
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Bertrand Russell, matemático británico que enunció la paradoja que lleva su nombre
Véase también
En inglés: Russell's paradox Facts for Kids
