Distribución binomial para Niños

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Datos para niños Distribución binomial
Función de masa de probabilidad Función de probabilidad
Función de distribución acumulada Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$n \geq 0$ número de ensayos (entero) $0\leq p \leq 1$ probabilidad de éxito (real)
Dominio	$x \in \{0,\dots,n\}\!$
Función de probabilidad (fp)	${n\choose x} p^x (1-p)^{n-x} \!$
Función de distribución (cdf)	$I_{1-p}(n-\lfloor x\rfloor, \lfloor x\rfloor+1) \!$
Media	$np\!$
Mediana	Uno de $\{\lfloor np\rfloor, \lceil np \rceil\}$
Moda	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!$
Varianza	$np(1-p)\!$
Coeficiente de simetría	Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)</td></tr><tr><td class="noprint" colspan="3" style="text-align:left;"></td></tr></table><!--IB_END-->\! \|curtosis = $\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}+3\!$ \|entropía = $\frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)$ \|mgf = $(1-p + pe^t)^n \!$ \|car = $(1-p + pe^{it})^n \!$ }} La distribución binomial es una herramienta de la teoría de la probabilidad y la estadística. Nos ayuda a calcular la probabilidad de obtener un cierto número de "éxitos" en una serie de intentos. Imagina que repites un experimento varias veces, y en cada intento solo hay dos resultados posibles: "éxito" o "fracaso". La probabilidad de "éxito" debe ser siempre la misma en cada intento. Por ejemplo, si lanzas una moneda varias veces, cada lanzamiento es un intento. Obtener "cara" podría ser un "éxito" y "cruz" un "fracaso". La distribución binomial nos diría cuál es la probabilidad de obtener un número específico de "caras" en esos lanzamientos. Esta distribución se usa mucho para entender situaciones donde hay dos resultados posibles. Es una de las primeras leyes de probabilidad que se estudian. Contenido Distribución Binomial: Contando Éxitos ¿Qué es un Experimento Binomial? Ejemplos Sencillos Lanzar una Moneda Lanzar un Dado ¿Cómo se Calcula la Probabilidad? ¿Para Qué Sirve la Distribución Binomial? Propiedades Importantes Media y Varianza Relación con Otras Distribuciones La Distribución de Bernoulli Aproximaciones Útiles Galería de imágenes Véase también Distribución Binomial: Contando Éxitos La distribución binomial nos permite saber cuántas veces esperamos que ocurra un "éxito" en un número fijo de intentos. Cada intento es independiente de los demás. Esto significa que el resultado de un intento no afecta el resultado del siguiente. ¿Qué es un Experimento Binomial? Un experimento binomial tiene algunas características importantes: Hay un número fijo de intentos, que llamamos n. Cada intento solo tiene dos resultados posibles: "éxito" o "fracaso". La probabilidad de "éxito" (que llamamos p) es la misma en cada intento. Los intentos son independientes entre sí. Cuando se cumplen estas condiciones, decimos que la variable que cuenta el número de éxitos sigue una distribución binomial. Ejemplos Sencillos Cara o cruz Aquí tienes algunos ejemplos para entenderlo mejor: Lanzar una Moneda Imagina que lanzas una moneda 10 veces. Quieres saber cuántas veces saldrá "cara". El número de intentos (n) es 10. Cada intento tiene dos resultados: "cara" (éxito) o "cruz" (fracaso). La probabilidad de "cara" (p) es 1/2 (o 0.5) en cada lanzamiento. Cada lanzamiento es independiente. La distribución binomial te ayudaría a calcular la probabilidad de obtener, por ejemplo, 7 caras en esos 10 lanzamientos. Lanzar un Dado Ahora, piensa que lanzas un dado de 6 caras 5 veces. Quieres saber cuántas veces saldrá el número 3. El número de intentos (n) es 5. Cada intento tiene dos resultados: "sale 3" (éxito) o "no sale 3" (fracaso). La probabilidad de "sale 3" (p) es 1/6 en cada lanzamiento. Cada lanzamiento es independiente. La distribución binomial te diría la probabilidad de que el 3 aparezca, por ejemplo, 2 veces en los 5 lanzamientos. ¿Cómo se Calcula la Probabilidad? Para calcular la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n intentos, usamos una fórmula especial: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \mathbb{P}(X = k)= {n \choose k} \, p^k (1-p)^{n-k}. En esta fórmula: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \mathbb{P}(X = k) es la probabilidad de tener k éxitos. n es el número total de intentos. k es el número de éxitos que queremos calcular. p es la probabilidad de éxito en un solo intento. $(1-p)$ es la probabilidad de fracaso en un solo intento. ${n \choose k}$ es el coeficiente binomial. Se calcula como Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{n!}{k!(n-k)!} y representa el número de formas diferentes en que puedes obtener k éxitos en n intentos. Por ejemplo, si lanzas un dado 51 veces y quieres saber la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces: n = 51 (lanzamientos) k = 20 (veces que sale el 3) p = 1/6 (probabilidad de que salga un 3 en un lanzamiento) $(1-p)$ = 5/6 (probabilidad de que no salga un 3) Usando la fórmula, la probabilidad sería: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \operatorname{P}[X=20]={51 \choose 20}(1/6)^{20}(5/6)^{51-20}=0.0000744 \,\! Esto significa que es muy poco probable que el 3 salga exactamente 20 veces. ¿Para Qué Sirve la Distribución Binomial? La distribución binomial es muy útil en muchos campos. Por ejemplo: En el control de calidad: para saber la probabilidad de que un cierto número de productos sean defectuosos en un lote. En medicina: para calcular la probabilidad de que un tratamiento sea efectivo en un número determinado de pacientes. En juegos de azar: para entender las probabilidades de ganar o perder en juegos simples. Es una base importante para entender cómo el azar afecta los resultados y para tomar decisiones basadas en datos. Propiedades Importantes Cuando una variable sigue una distribución binomial, podemos calcular algunas cosas interesantes sobre ella. Media y Varianza La media (o esperanza) nos dice el número promedio de éxitos que esperamos obtener. Se calcula multiplicando el número total de intentos (n) por la probabilidad de éxito (p): $\operatorname{E}[X] = np$ Por ejemplo, si lanzas una moneda 100 veces, esperas obtener 100 * 0.5 = 50 caras. La varianza nos dice qué tan dispersos o variados son los resultados. Una varianza alta significa que los resultados pueden variar mucho del promedio, mientras que una baja significa que los resultados suelen estar cerca del promedio. Se calcula así: $\operatorname{Var}[X] =np(1-p)$ Relación con Otras Distribuciones La distribución binomial está relacionada con otras distribuciones de probabilidad. La Distribución de Bernoulli La distribución de Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial. Ocurre cuando solo hay un intento (n = 1). Es decir, si haces un solo experimento con dos resultados posibles, eso es una distribución de Bernoulli. Aproximaciones Útiles A veces, cuando el número de intentos (n) es muy grande, calcular las probabilidades con la fórmula binomial puede ser complicado. En esos casos, podemos usar otras distribuciones para aproximar los resultados: La distribución de Poisson se usa cuando n es muy grande y la probabilidad de éxito (p) es muy pequeña. La distribución normal (también conocida como la "curva de campana") se puede usar para aproximar la binomial cuando n es grande y p no es ni muy pequeña ni muy grande. Estas aproximaciones nos ayudan a hacer cálculos más sencillos sin perder mucha precisión. Galería de imágenes Arbre de probabilité para una ley binomial asociada a 3 pruebas de Bernoulli. Véase también En inglés: Binomial distribution Facts for Kids

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Distribución binomial para niños

Contenido

Distribución Binomial: Contando Éxitos

¿Qué es un Experimento Binomial?

Ejemplos Sencillos

Lanzar una Moneda

Lanzar un Dado

¿Cómo se Calcula la Probabilidad?

¿Para Qué Sirve la Distribución Binomial?

Propiedades Importantes

Media y Varianza

Relación con Otras Distribuciones

La Distribución de Bernoulli

Aproximaciones Útiles

Galería de imágenes

Véase también