Distribución Bernoulli para niños

Enciclopedia para niños

Datos para niños Bernoulli
Parámetros	$0<p<1$
Dominio	$x=\{0,1\}\,$
Función de probabilidad (fp)	$p^x(1-p)^{1-x}$
Función de distribución (cdf)	Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \begin{cases} 0 & x<0 \ 1 - p & 0\leq x<1 \ 1 & x\geq 1 \end{cases}
Media	$p\,$
Mediana	N/A
Moda	Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \begin{cases} 0 & q > p\ 0,1 & q=p\ 1 & q < p \end{cases}
Varianza	$p(1-p)\,$
Coeficiente de simetría	Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{q-p}{\sqrt{pq</td></tr><tr><td class="noprint" colspan="3" style="text-align:left;"></td></tr></table><!--IB_END--> \|curtosis = $\frac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$ \|entropía = $-q\ln(q)-p\ln(p)\,$ \|mgf = $1-p+pe^t\,$ \|car = $1-p+pe^{it}\,$ }} La distribución de Bernoulli es un concepto importante en la teoría de probabilidad y la estadística. Lleva el nombre del matemático suizo Jacob Bernoulli. Esta distribución se usa para describir situaciones donde solo hay dos resultados posibles. Imagina que realizas un experimento una sola vez. Este experimento solo puede tener dos resultados: uno que llamamos "éxito" y otro que llamamos "fracaso". La distribución de Bernoulli nos ayuda a entender la probabilidad de que ocurra el "éxito". Contenido ¿Qué es la Distribución de Bernoulli? ¿Quién fue Jacob Bernoulli? ¿Qué es un Experimento de Bernoulli? Ejemplos Sencillos de Experimentos de Bernoulli ¿Cómo se Calcula la Probabilidad en Bernoulli? La Función de Probabilidad La Función de Distribución Acumulada Propiedades Clave de la Distribución de Bernoulli El Valor Esperado (Media) La Varianza ¿Cómo se Relaciona con la Distribución Binomial? Ejemplos Ejemplo 1: Lanzar una Moneda Ejemplo 2: Lanzar un Dado y Obtener un 6 Véase también ¿Qué es la Distribución de Bernoulli? La distribución de Bernoulli es un modelo matemático para experimentos con solo dos resultados. Piensa en lanzar una moneda: puede salir cara o cruz. O en un examen: puedes aprobar o suspender. Estos son ejemplos perfectos para la distribución de Bernoulli. ¿Quién fue Jacob Bernoulli? Jacob Bernoulli fue un matemático muy importante que vivió en Suiza en el siglo XVII. Fue uno de los primeros en estudiar la probabilidad de manera profunda. Sus ideas sentaron las bases para muchas áreas de las matemáticas y la estadística que usamos hoy. La distribución de Bernoulli es una de sus contribuciones más conocidas. ¿Qué es un Experimento de Bernoulli? Un experimento de Bernoulli, o simplemente un ensayo, es una prueba que cumple con tres condiciones: Solo se realiza una vez. Tiene exactamente dos resultados posibles. A uno lo llamamos "éxito" y al otro "fracaso". La probabilidad de "éxito" es siempre la misma, y la llamamos p. La probabilidad de "fracaso" es 1-p. Cuando una variable aleatoria (un valor que puede cambiar según el resultado de un experimento) mide el "número de éxitos" en un solo experimento de este tipo, decimos que sigue una distribución de Bernoulli. Se escribe como $X \sim\operatorname{Bernoulli}(p)$ , donde p es la probabilidad de éxito. Ejemplos Sencillos de Experimentos de Bernoulli Lanzar una moneda: Si "éxito" es que salga cara, y "fracaso" que salga cruz. Responder una pregunta de verdadero/falso: Si "éxito" es responder correctamente, y "fracaso" es responder incorrectamente. Verificar si un producto está defectuoso: Si "éxito" es que el producto esté defectuoso, y "fracaso" que no lo esté. ¿Cómo se Calcula la Probabilidad en Bernoulli? Para entender la distribución de Bernoulli, usamos dos funciones principales: la función de probabilidad y la función de distribución acumulada. La Función de Probabilidad La función de probabilidad nos dice la probabilidad exacta de cada resultado (0 para fracaso, 1 para éxito). Si $x=1$ (éxito), la probabilidad es p. Si $x=0$ (fracaso), la probabilidad es 1-p. Esto se puede escribir así: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \operatorname{P}[X=x]= \begin{cases} 1-p & \mbox {si }x=0 \\ p & \mbox {si }x=1 \end{cases} La Función de Distribución Acumulada La función de distribución acumulada nos dice la probabilidad de que el resultado sea menor o igual a un cierto valor. Si $x$ es menor que 0, la probabilidad acumulada es 0 (no hay resultados posibles). Si $x$ está entre 0 y 1 (sin incluir el 1), la probabilidad acumulada es la de obtener 0, que es 1-p. Si $x$ es 1 o más, la probabilidad acumulada es 1 (ya hemos cubierto todos los resultados posibles). Se escribe así: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): F(x) = \begin{cases} 0 & x<0 \\ 1-p & 0\leq x<1 \\ 1 & x\geq1 \end{cases} Propiedades Clave de la Distribución de Bernoulli La distribución de Bernoulli tiene algunas características importantes que nos ayudan a entenderla mejor. El Valor Esperado (Media) El valor esperado, también conocido como la media o promedio, de una variable de Bernoulli es simplemente la probabilidad de éxito, p. Esto significa que, si repitieras el experimento muchas veces, el promedio de los resultados (donde 1 es éxito y 0 es fracaso) se acercaría a p. Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \operatorname{E}\left[X\right]=p La Varianza La varianza nos dice qué tan dispersos están los resultados de un experimento. Para una distribución de Bernoulli, la varianza se calcula como $p(1-p)$ . Una varianza alta significa que los resultados pueden variar mucho, mientras que una baja significa que son más predecibles. Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \operatorname{Var}\left[X\right]= p (1 - p) ¿Cómo se Relaciona con la Distribución Binomial? La distribución de Bernoulli es como el "bloque de construcción" de la distribución binomial. Si realizas varios experimentos de Bernoulli independientes (por ejemplo, lanzas una moneda varias veces) y cuentas el número total de éxitos, eso es lo que describe la distribución binomial. En otras palabras, una distribución de Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial donde solo se realiza un experimento ( $n=1$ ). Ejemplos Ejemplo 1: Lanzar una Moneda Imagina que lanzas una moneda y quieres saber la probabilidad de que salga cruz. Este es un solo experimento. Hay dos resultados posibles: cara o cruz. Consideramos "éxito" que salga cruz. La probabilidad de que salga cruz es $p=0.5$ (o 50%). El "fracaso" sería que salga cara, con una probabilidad de $q=1-p=1-0.5=0.5$ . La variable aleatoria $X$ mide el "número de cruces que salen en un lanzamiento". Si Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): X=0 , significa que salió cara (fracaso). Si Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): X=1 , significa que salió cruz (éxito). Entonces, $X$ sigue una distribución de Bernoulli con $p=0.5$ , es decir, $X \sim\operatorname{Bernoulli}(0.5)$ . La probabilidad de que salga cara (Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): X=0 ) es Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \operatorname{P}[X=0]=0.5 . La probabilidad de que salga cruz (Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): X=1 ) es Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \operatorname{P}[X=1]=0.5 . Ejemplo 2: Lanzar un Dado y Obtener un 6 Ahora, lanzas un dado una sola vez y quieres saber la probabilidad de que salga un 6. El espacio de resultados posibles es $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Consideramos "éxito" sacar un 6. Hay 1 caso favorable de 6 posibles, así que la probabilidad de éxito es $p = 1/6$ . Consideramos "fracaso" sacar cualquier otro número (1, 2, 3, 4, 5). La probabilidad de fracaso es Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): q = 1 - p = 1 - 1/6 = 5/6 . La variable aleatoria $X$ mide el "número de veces que sale un 6". Si Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): X=0 , significa que no salió un 6. Si Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): X=1 , significa que sí salió un 6. Así, $X$ sigue una distribución de Bernoulli con Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): p=1/6 , es decir, $X \sim\operatorname{Bernoulli}(1/6)$ . La probabilidad de que salga un 6 (Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): X=1 ) es Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): P(X = 1) = 1/6 \approx 0.1667 . La probabilidad de que NO salga un 6 (Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): X=0 ) es Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): P(X = 0) = 5/6 \approx 0.8333 . Véase también En inglés: Bernoulli distribution Facts for Kids Distribución de probabilidad Distribución binomial Distribución geométrica

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Contenido

¿Qué es la Distribución de Bernoulli?

¿Quién fue Jacob Bernoulli?

¿Qué es un Experimento de Bernoulli?

Ejemplos Sencillos de Experimentos de Bernoulli

¿Cómo se Calcula la Probabilidad en Bernoulli?

La Función de Probabilidad

La Función de Distribución Acumulada

Propiedades Clave de la Distribución de Bernoulli

El Valor Esperado (Media)

La Varianza

¿Cómo se Relaciona con la Distribución Binomial?

Ejemplos

Ejemplo 1: Lanzar una Moneda

Ejemplo 2: Lanzar un Dado y Obtener un 6

Véase también