Variedad algebraica para niños
Una variedad algebraica es un concepto importante en las matemáticas, especialmente en una rama llamada geometría algebraica. Piensa en ella como una forma especial de describir conjuntos de puntos en el espacio. Estos puntos son aquellos donde una o más ecuaciones de polinomios (como las que usas en álgebra, por ejemplo, `x + y - 1 = 0` o `x^2 + y^2 - 1 = 0`) se hacen cero.
La geometría algebraica estudia estas formas y sus propiedades. Es como un puente entre el álgebra (que trata con ecuaciones) y la geometría (que trata con formas y espacios).
Históricamente, el teorema fundamental del álgebra mostró que las soluciones de una ecuación polinómica simple (como `x - 5 = 0`, donde la solución es `x = 5`) pueden verse como puntos en una línea. Este fue un primer paso para conectar el álgebra con la geometría. Más tarde, otros teoremas, como el Teorema de los ceros de Hilbert, ayudaron a entender cómo los conjuntos de ecuaciones polinómicas se relacionan con formas geométricas más complejas.
A veces, una variedad algebraica se define como "irreducible". Esto significa que no se puede dividir en dos partes más pequeñas que también sean variedades algebraicas. Si una variedad no es irreducible, a veces se le llama "conjunto algebraico".
Muchas variedades algebraicas se parecen a las "colectores" (formas suaves sin esquinas ni agujeros extraños), pero las variedades algebraicas pueden tener "puntos singulares" (como una esquina afilada o un cruce), mientras que los colectores no.
Las variedades algebraicas se clasifican por su "dimensión":
- Las de dimensión uno se llaman curvas algebraicas.
- Las de dimensión dos se llaman superficies algebraicas.
Contenido
Tipos de variedades algebraicas
Existen diferentes tipos de variedades algebraicas, dependiendo del espacio en el que se definen.
Variedades afines
Las variedades afines son las más sencillas de entender. Imagina un espacio con coordenadas, como el plano cartesiano (con ejes X e Y) o un espacio tridimensional (con ejes X, Y y Z). A este espacio lo llamamos "espacio afín".
Una variedad afín es el conjunto de todos los puntos en este espacio donde un grupo de polinomios se hacen cero al mismo tiempo.
Por ejemplo, si tienes la ecuación `x + y - 1 = 0`, los puntos `(x, y)` que la satisfacen forman una línea recta. Esta línea es una variedad afín.
En las variedades afines, se usa una forma especial de definir qué puntos están "cerca" o qué conjuntos son "cerrados", llamada topología de Zariski.
Variedades proyectivas y cuasi-proyectivas
Las variedades proyectivas son un poco más complejas y se definen en un espacio llamado "espacio proyectivo". Este espacio es como el espacio afín, pero incluye puntos "en el infinito", lo que ayuda a estudiar ciertas propiedades de las formas de una manera más completa.
Una variedad cuasi-proyectiva es una parte abierta de una variedad proyectiva. Piensa en ella como si tomaras una variedad proyectiva y le quitaras algunos puntos o líneas, dejando una parte "abierta". Curiosamente, todas las variedades afines son también variedades cuasi-proyectivas.
Ejemplos de variedades afines
Ejemplo 1: Una línea recta
Imagina el plano con coordenadas `(x, y)`. Considera el polinomio `f(x, y) = x + y - 1`. Si igualamos este polinomio a cero: `x + y - 1 = 0`, obtenemos la ecuación de una línea recta. Los puntos `(x, y)` que hacen que esta ecuación sea verdadera (por ejemplo, `(1, 0)`, `(0, 1)`, `(2, -1)`) forman esta línea. Esta línea es un ejemplo de una variedad algebraica afín. Es "irreducible" porque no se puede dividir en dos líneas más pequeñas que también sean variedades.
Ejemplo 2: Un círculo
En el mismo plano `(x, y)`, considera el polinomio `g(x, y) = x^2 + y^2 - 1`. Si igualamos este polinomio a cero: `x^2 + y^2 - 1 = 0`, obtenemos la ecuación de un círculo con centro en el origen y radio 1. Todos los puntos `(x, y)` que cumplen esta ecuación forman el círculo. Este círculo es también una variedad algebraica afín. Si solo consideramos los puntos donde `x` e `y` son números reales, obtenemos el círculo que dibujamos normalmente.
Ejemplo 3: La cúbica alabeada
Ahora, imaginemos un espacio tridimensional con coordenadas `(x, y, z)`. Considera el conjunto de puntos `(x, x^2, x^3)` para cualquier número `x`. Por ejemplo, si `x=1`, el punto es `(1, 1, 1)`. Si `x=2`, el punto es `(2, 4, 8)`. Estos puntos forman una curva en el espacio tridimensional que no es plana (no está contenida en un solo plano). Se le llama cúbica alabeada. Esta curva se puede describir con dos ecuaciones polinómicas:
- `y - x^2 = 0`
- `z - x^3 = 0`
Los puntos que satisfacen ambas ecuaciones al mismo tiempo forman esta curva. Es un ejemplo de una variedad algebraica en tres dimensiones.
Galería de imágenes
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Una cúbica alabeada es una variedad algebraica proyectiva
Véase también
En inglés: Algebraic variety Facts for Kids
