Teorema de Taniyama-Shimura para niños
El teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente conocido como conjetura de Taniyama-Shimura fue una conjetura, y actualmente un teorema, muy importante dentro de las matemáticas modernas, que conecta las curvas elípticas definidas sobre el Shimura-Weil, que fuera propuesto por los matemáticos japoneses Yutaka Taniyama y Gorō Shimura. En 1995, Andrew Wiles y Richard Taylor probaron un caso especial de la conjetura, suficiente para demostrar el último teorema de Fermat. En 2001 fue finalmente demostrada por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor. Desde entonces, la conjetura de Taniyama-Shimura se conoce también como teorema de la modularidad.
Enunciado
Se conoce como curva elíptica a aquella descrita con una ecuación del tipo
tal que el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación no es 0. Supongamos que 
, 
, 
y 
son números racionales.
Una forma modular es una función analítica 
del semiplano superior
a los complejos 
, tal que 
satisfaga ciertas condiciones de simetría (entre ellas 
para todo 
y algún entero 
fijo) y una condición de crecimiento (holomorficidad en el punto en el infinito).
El teorema afirma lo siguiente:
|
con coeficientes racionales existe una forma modular 
asociada a 
asociados a la curva 
, para 
primo de buena reducción de Historia
Los trabajos de Andrew Wiles para obtener la demostración del último teorema de Fermat llevaron a la demostración de la veracidad de la conjetura de Taniyama-Shimura para el caso semiestable (asistido por Richard Taylor), partiendo de la teoría de Deformaciones de Representaciones de Galois creada por B. Mazur y de resultados de Langlands y Tunnell y desarrollando lo que hoy se conocen como Teoremas de Levantamiento Modular 1995. Posteriormente, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor ampliaron el campo de aplicación desde las curvas elípticas semiestables definidas sobre los racionales a todas las curvas elípticas definidas sobre los racionales. Hay duda sobre el aporte de Andrew Wiles; Serge Lang reivindicó a Shimura la paternidad junto con Taniyama. Este último murió a los 31 años en 1958.
Véase también
En inglés: Modularity theorem Facts for Kids
