Teoría de Ramsey para niños
La teoría de Ramsey es una parte fascinante de las matemáticas. Lleva el nombre de Frank P. Ramsey, un matemático muy inteligente. Esta teoría nos ayuda a entender cuándo el orden aparece de forma inevitable, incluso en situaciones que parecen muy desordenadas.
Los problemas de la teoría de Ramsey suelen preguntar: ¿Qué tan grande debe ser un grupo de cosas para que una característica especial aparezca sí o sí? Como dijo Theodore S. Motzkin: "El desorden completo es imposible".
Contenido
El Principio del Palomar: Un Inicio Sencillo
Para entender la teoría de Ramsey, podemos empezar con un ejemplo simple llamado el principio del palomar. Imagina que tienes varias palomas y varios nidos.
¿Cuántas palomas para un nido lleno?
Si tienes n palomas y m nidos, y hay más palomas que nidos (es decir, n es mayor que m), entonces al menos un nido debe tener dos o más palomas. ¡Es imposible que cada paloma tenga su propio nido si no hay suficientes nidos!
La teoría de Ramsey toma esta idea básica y la lleva mucho más allá, a problemas más complejos.
Colores y Conexiones: El Teorema de Ramsey
Un ejemplo famoso de la teoría de Ramsey tiene que ver con colores y conexiones.
¿Qué es un grafo completo?
Imagina un grupo de puntos, llamados vértices, y líneas que los conectan, llamadas aristas. Si cada punto está conectado con todos los demás puntos, a eso lo llamamos un grafo completo. Si hay 3 puntos y todos están conectados entre sí, forman un triángulo.
Triángulos de un solo color
Ahora, piensa que cada línea (arista) de este grafo completo puede ser de color rojo o azul. La pregunta es: ¿Cuántos puntos necesitamos en nuestro grafo para estar seguros de que siempre encontraremos un triángulo que sea completamente rojo o completamente azul?
La respuesta es 6. Si tienes 6 puntos y conectas cada par con una línea roja o azul, siempre habrá un triángulo de un solo color.
Amigos y Desconocidos
Este mismo resultado se puede explicar de otra manera: en cualquier grupo de al menos seis personas, siempre habrá tres personas que se conocen entre sí, o tres personas que no se conocen entre sí. Esto se conoce como el teorema de la amistad.
Los Números de Ramsey
El ejemplo del triángulo de 6 puntos es un caso especial de un teorema más grande, el teorema de Ramsey. Este teorema dice que para cualquier número de colores y cualquier tamaño de grupo que busquemos, siempre existe un número lo suficientemente grande de puntos que garantiza que encontraremos ese grupo con un solo color. A estos números se les llama números de Ramsey, y se escriben como R(n₁, n₂, ...).
Por ejemplo, R(3,3) = 6, que es el caso de los triángulos rojos o azules que acabamos de ver.
| r, s | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 6 | |||||||
| 4 | 9 | 18 | ||||||
| 5 | 14 | 25 | 43–48 | |||||
| 6 | 18 | 36–41 | 58–87 | 102–165 | ||||
| 7 | 23 | 49–61 | 80–143 | 115–298 | 205–540 | |||
| 8 | 28 | 59–84 | 101–216 | 134–495 | 219–1031 | 282–1870 | ||
| 9 | 36 | 73–115 | 133–316 | 183–780 | 252–1713 | 329–3583 | 565–6588 | |
| 10 | 40–42 | 92–149 | 149–442 | 204–1171 | 292–2826 | 343–6090 | 581–12677 | 798–23556 |
| 11 | 47-50 | 102-191 | 183-633 | 262-1804 | 405-4553 | 457-10630 | 22325 | 45881 |
| 12 | 53-59 | 128-238 | 203-848 | 294-2566 | 417-6954 | 16944 | 38832 | 81123 |
| 13 | 60-68 | 138-291 | 233-1138 | 347-3703 | 511-10578 | 817-27485 | 64864 | |
| 14 | 67-77 | 147-349 | 267-1461 | 5033 | 15263 | 41525 | ||
| 15 | 74-87 | 158-417 | 275-1878 | 401-6911 | 22112 | 873-63609 | 1313 |
Los números de Ramsey son difíciles de calcular. Por ejemplo, R(3,3,3) = 17, lo que significa que si coloreamos las líneas de un grafo completo con 17 puntos usando tres colores, siempre encontraremos un triángulo de un solo color.
Otros Resultados Importantes
La teoría de Ramsey tiene muchos otros resultados interesantes:
- Teorema de Ramsey Infinito (1928): Si tienes un grupo infinito de cosas y las separas en un número limitado de categorías, al menos una categoría tendrá un número infinito de cosas.
- Problema del final feliz (1933): Si tienes 5 puntos en un plano (y no hay 3 en línea recta), siempre puedes encontrar 4 puntos que formen una figura de cuatro lados sin que se crucen las líneas (un cuadrilátero convexo).
- Teorema de Erdős-Szekeres (1936): Si tienes un grupo de números, siempre puedes encontrar una secuencia dentro de ellos que siempre sube o siempre baja.
- Teorema de van der Waerden (1927): Si coloreas una secuencia larga de números con diferentes colores, siempre encontrarás una secuencia más pequeña de números del mismo color que están igualmente espaciados.
- Teorema de Hales-Jewett (1963): Este teorema es como una versión avanzada del juego del "tres en línea". Dice que si juegas en un tablero con suficientes dimensiones, nunca podrás terminar en empate, no importa cuántos jugadores haya o qué tan larga sea la línea que necesitas para ganar.
Características de los Resultados de Ramsey
Los resultados de la teoría de Ramsey tienen dos características principales:
- No son "recetas": La teoría de Ramsey nos dice que algo existe, pero no nos da una forma sencilla de encontrarlo. A menudo, la única manera de encontrarlo es probar todas las posibilidades.
- Números muy grandes: Aunque la teoría garantiza que el orden aparecerá, a veces el tamaño del grupo necesario para que aparezca ese orden es ¡enormemente grande! Los números crecen muy rápido.
Galería de imágenes
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Según la teoría de Ramsey, del total de estrellas del cielo nocturno, siempre podemos seleccionar un subconjunto de ellas para dibujar diferentes objetos como: un triángulo, un cuadrilátero, un paraguas o un pulpo.
Véase también
En inglés: Ramsey theory Facts for Kids
