Subespacio vectorial para niños
En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V el espacio vectorial original.
Contenido
Definición de subespacio vectorial
Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:
Consecuencias
- Un subconjunto de vectores que cumple las dos condiciones anteriores es un subespacio vectorial y por tanto un espacio vectorial.
Demostración |
i) permite el cumplimiento de la propiedad conmutativa y asociativa.
ii) permite el cumplimiento de la propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva respecto las dos operaciones.
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Notaciones
Dado un subespacio vectorial, se tiene:
Para i) el abuso de lenguaje , e incluso es correcto.
Demostración |
Se quiere ver que :
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Para ii) el abuso de lenguaje , e incluso es correcto.
Demostración |
Criterio de verificación
Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:
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Ejemplos
Dado el espacio vectorial , sus elementos son del tipo .
El subconjunto
.
es un subespacio vectorial.
Demostración |
Por definición de U los elementos son de la forma .
como las operaciones están bien definidas entonces U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir, satisface las condiciones de subespacio vectorial de . |
El subconjunto
no es un subespacio vectorial.
Demostración |
Nuevamente sólo es necesario verificar tres condiciones: la pertenencia del vector nulo y la cerradura de ambas operaciones.
El vector nulo (0, 0) sí es un elemento de C puesto que 0 = 0². Sin embargo, ni la suma ni el producto son cerrados:
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Operaciones con subespacios
Sea un espacio vectorial; y subespacios vectoriales de , se definen las siguientes operaciones:
Unión
En general, la unión de subespacios no es un subespacio.
Intersección
La intersección de dos subespacios es un subespacio.
Suma
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.
Suma directa
Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".
Es decir que si
Esto significa que todo vector de S+W, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.
Subespacios suplementarios
Se dice que los subespacios y son suplementarios cuando verifican que su suma directa es igual al espacio vectorial :
Dimensiones de subespacios
La fórmula de Grassmann resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios y será igual a la dimensión del subespacio más la dimensión del subespacio menos la dimensión de la intersección de ambos, es decir:
Por ejemplo, siendo y y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego, .
En la suma directa
En el caso particular de la suma directa, como .
La fórmula de Grassmann resulta:
Entonces en el ejemplo anterior, resultaría .
Véase también
En inglés: Linear subspace Facts for Kids
- Base (álgebra)
- Combinación lineal
- Dependencia e independencia lineal
- Espacio vectorial
- Producto escalar
- Producto vectorial
- Producto mixto
- Sistema generador