Dependencia e independencia lineal para niños
En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede formarse combinando los otros. Imagina que tienes varias flechas (vectores); si son linealmente independientes, ninguna de esas flechas se puede crear sumando o restando las otras flechas, ni multiplicándolas por un número.
Por ejemplo, en un espacio de tres dimensiones, las flechas que apuntan directamente hacia adelante, hacia arriba y hacia un lado (como los ejes de un gráfico) son linealmente independientes. No puedes hacer que la flecha que apunta hacia adelante usando solo las que apuntan hacia arriba o hacia un lado.
En cambio, si tienes tres flechas y una de ellas es la suma de las otras dos, entonces son linealmente dependientes. Esto significa que una de ellas "depende" de las otras.
Contenido
¿Qué significa ser linealmente independiente?
Un grupo de vectores es linealmente independiente si la única manera de combinarlos para obtener el vector nulo (un vector que es cero en todas sus partes, como (0,0,0)) es si todos los números que usas para multiplicarlos son cero.
Imagina que tienes vectores como piezas de un juego de construcción. Si los combinas (multiplicándolos por números y luego sumándolos) y el resultado es el vector nulo, y la única forma de que eso pase es si todos los números que usaste eran cero, entonces esos vectores son independientes. Si puedes obtener el vector nulo usando números que no sean cero, entonces son dependientes.
El vector nulo es como el punto de partida en un mapa, donde no te has movido en ninguna dirección.
Propiedades de los vectores
Los vectores linealmente independientes y dependientes tienen algunas características importantes:
- Un grupo de vectores es linealmente dependiente si puedes formar uno de ellos combinando los demás.
- Si un grupo de vectores es linealmente independiente, cualquier grupo más pequeño que tomes de ellos también será linealmente independiente.
- Si un grupo de vectores es linealmente dependiente, cualquier grupo más grande que lo contenga también será linealmente dependiente.
¿Cómo se ve esto en el espacio?
El concepto de independencia lineal tiene un significado visual muy claro:
- Dos vectores son linealmente independientes si no apuntan en la misma dirección. Si apuntan en direcciones diferentes, pueden "crear" un plano (una superficie plana).
- Tres vectores son linealmente independientes si no están todos en el mismo plano. Si no están en el mismo plano, pueden "crear" un volumen (un espacio tridimensional).
- En general, si tienes un número de vectores, son linealmente independientes si pueden "crear" un espacio con la misma cantidad de dimensiones que el número de vectores.
En la imagen de ejemplo:
- Los vectores
y 
son dependientes porque apuntan en la misma dirección. - Los vectores y
son independientes y juntos forman el plano 
. - Los vectores , y
son dependientes porque los tres están en el mismo plano. - Los vectores , y
son independientes porque no está en el plano que forman y . Juntos, estos tres vectores pueden crear todo el espacio tridimensional. - El vector nulo (
) y cualquier otro vector () son dependientes porque el vector nulo siempre se puede obtener multiplicando el otro vector por cero.
Ejemplos prácticos
¿Cómo saber si los vectores son independientes?
Podemos usar un sistema de ecuaciones para verificar si un grupo de vectores es linealmente independiente.
Por ejemplo, veamos si estos tres vectores son independientes:
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \vec{u} = (2, 0, 0)
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \vec{v} = (1, 3, 0)
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \vec{w} = (1, 2, 4)
Queremos encontrar números x, y y z que hagan que la siguiente ecuación sea cierta: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x \vec{u} + y \vec{v} + z \vec{w} = (0, 0, 0)
Esto se convierte en un sistema de ecuaciones:
- 2x + y + z = 0
- 3y + 2z = 0
- 4z = 0
Si resolvemos este sistema, encontramos que la única solución posible es que x = 0, y = 0 y z = 0. Como la única forma de que la combinación de estos vectores dé el vector nulo es usando solo ceros, los tres vectores son linealmente independientes.
Usando determinantes (un método avanzado)
Para dos vectores en un plano, o tres vectores en el espacio, hay un método más rápido usando algo llamado determinante. Si el determinante de una matriz formada por estos vectores es diferente de cero, entonces los vectores son linealmente independientes.
Por ejemplo, para los vectores Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \vec{u} = (1, 1) y Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \vec{v} = (-3, 2) : Formamos una matriz con ellos: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A = \begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix} El determinante de esta matriz es (1 * 2) - (-3 * 1) = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5. Como 5 no es cero, los vectores (1, 1) y (-3, 2) son linealmente independientes.
Vectores de la base canónica
Un ejemplo muy importante de vectores linealmente independientes son los que forman la base canónica. Estos son los vectores que apuntan a lo largo de los ejes principales en un sistema de coordenadas.
Por ejemplo, en un espacio de tres dimensiones, los vectores de la base canónica son:
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \mathbf{e}_1 = (1, 0, 0) (apunta a lo largo del eje X)
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0) (apunta a lo largo del eje Y)
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \mathbf{e}_3 = (0, 0, 1) (apunta a lo largo del eje Z)
Estos vectores son siempre linealmente independientes. No puedes formar uno de ellos combinando los otros.
Véase también
En inglés: Linear independence Facts for Kids
- Combinación lineal
- Sistema generador
- Base (álgebra)
