robot de la enciclopedia para niños

Combinación lineal para niños

Enciclopedia para niños

En matemáticas, particularmente en álgebra lineal, una combinación lineal es una expresión matemática que consiste en la suma entre pares de elementos, de determinados conjuntos, multiplicados entre sí.

En particular, la combinación lineal de un sistema de vectores se trata de un vector de la forma

v=k_1v_1+k_2v_2+\cdots+k_nv_n=\sum_{i=1}^nk_iv_i

con los k_i elementos de un cuerpo. La definición, provista de esta manera, da lugar a otras definiciones y herramientas importantes, como son los conceptos de independencia lineal y base de un espacio vectorial.

Definición

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B.

Se define como combinación lineal a toda expresión de la forma

\sum_{\begin{smallmatrix}\alpha \in A \\ b\in B\end{smallmatrix}} \alpha b.

Resulta de especial interés la definición de combinación lineal de vectores con respecto a un conjunto de escalares.

Espacios vectoriales

Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo \mathbb{K} y un conjunto A=\{ v_1, v_2, v_3,..., v_n \} de vectores en V, es decir, A\subset V.

Se dice que un vector v \in V es combinación lineal de A si \exists k_1, \dots, k_n \in \mathbb{K} : v = \sum_{i=1}^n k_i v_i.

En términos no tan formales, diremos que v es combinación lineal de vectores de A si podemos expresarlo como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de A. En este caso, también se dice que v depende linealmente de los vectores de A.

Ejemplos

Archivo:Vectores coplanarios
Combinación lineal de dos vectores en el espacio.
  1. La terna ordenada (20, 12, 37) es una combinación lineal de (1, 3, 5) y (6, 2, 9):

    \begin{pmatrix} 20 \\ 12 \\ 37 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}.

  2. En general, dado un vector v en un espacio vectorial, todo múltiplo suyo \lambda v es combinación lineal. Para el caso particular v \in \mathbb{R}^2, sus múltiplos son vectores en el plano con la misma dirección, es decir, paralelos.

  3. Dado v \in \mathbb{R}^3, decir que v es combinación lineal de otros dos vectores v_1, v_2 no paralelos equivale a afirmar que los tres vectores son coplanarios, es decir, que se encuentran en un mismo plano.

  4. En la ecuación 2x + 3y - 2z = 0 se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir z = x + \frac{3}{2} y sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

Espacio generado

Artículo principal: Sistema generador

Dado un conjunto de vectores A del espacio vectorial V, finito o infinito, se llama espacio generado, denotado como \mbox{gen}(A), al conjunto:

\mbox{gen}(A) = \left\{v\in V | \exists a_1,\dots a_n\in \mathbb{K}, \exists v_1,\dots v_n \in A : v = \sum_{i=1}^n a_i v_i \right\}

donde \mathbb{K} es el cuerpo sobre el cual está definido V. En términos menos formales, el espacio generado a partir de A es el conjunto de todas las combinaciones lineales que pueden formarse con los vectores de A. Dicho conjunto es el mínimo subespacio vectorial de V que contiene al conjunto A.

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Linear combination Facts for Kids

Obtenido de «https://ninos.kiddle.co/index.php?title=Combinación_lineal&oldid=3754323»
kids search engine
Todo el contenido de los artículos de la Enciclopedia Kiddle (incluidas las imágenes) se puede utilizar libremente para fines personales y educativos bajo la licencia Atribución-CompartirIgual a menos que se indique lo contrario. Citar este artículo:
Combinación lineal para Niños. Enciclopedia Kiddle.