Prueba por contradicción para niños
La prueba por contradicción es una forma especial de demostrar que una idea o afirmación es verdadera. Es como un detective que, para probar que algo es cierto, primero imagina que es falso. Si al seguir esa idea falsa se llega a algo imposible o sin sentido, entonces la idea original debe ser verdadera.
Este método se usa mucho en matemáticas y sigue estos pasos:
- Paso 1: Quieres demostrar que una afirmación (llamémosla P) es verdadera.
- Paso 2: Imaginas que P es falsa.
- Paso 3: Exploras qué pasaría si P fuera falsa, siguiendo las reglas de la lógica y las matemáticas.
- Paso 4: Si al hacer esto llegas a una situación que no tiene sentido o es imposible (una contradicción), entonces sabes que tu suposición inicial (que P era falsa) estaba equivocada.
- Paso 5: Como una afirmación solo puede ser verdadera o falsa, y ya demostraste que no puede ser falsa (porque lleva a un problema), entonces P debe ser verdadera.
Contenido
¿Qué tipos de pruebas existen en matemáticas?
En matemáticas, demostrar algo es muy importante. Hay muchas maneras de probar que una idea, una regla o un teorema es cierto. Generalmente, las pruebas se dividen en dos grandes grupos: directas e indirectas.
Pruebas directas
En las pruebas directas, empiezas con una afirmación que sabes que es verdadera y, paso a paso, usando otras reglas ya demostradas, llegas a la conclusión que quieres probar. Algunas pruebas directas comunes son:
- Prueba por inducción matemática: Es muy fuerte y se usa para demostrar que una propiedad es cierta para todos los números naturales. Empiezas probando que es cierta para el primer número y luego demuestras que si es cierta para un número, también lo es para el siguiente.
- Prueba por contraejemplo: Se usa para demostrar que una afirmación general es falsa. Solo necesitas encontrar un único ejemplo que cumpla la primera parte de la afirmación, pero no la segunda.
- Prueba por agotamiento: Se usa cuando la conclusión que quieres probar se puede dividir en un número limitado de casos. Si demuestras que la conclusión es cierta para cada uno de esos casos, entonces es cierta en general.
Pruebas indirectas
Las pruebas indirectas son diferentes. Aquí, para demostrar que una afirmación P lleva a una conclusión Q, empiezas asumiendo que P lleva a "no Q" (lo contrario de Q). Si al seguir este camino llegas a algo imposible, entonces demuestras que P sí debe llevar a Q. Los dos tipos más comunes de pruebas indirectas son la prueba por contrapositivo y la prueba por contradicción.
La prueba por contradicción es especial porque empieza asumiendo que lo que quieres probar es falso, ¡aunque la lógica te diga que no debería ser así! Aunque las pruebas directas suelen ser más "sólidas", a veces no se pueden usar.
Ejemplo: Demostrar que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional
Un número irracional es aquel que no se puede escribir como una fracción (cociente) de dos números enteros. Es imposible probar esto directamente porque hay infinitos números enteros para revisar. Por eso, usamos la prueba por contradicción:
- Paso 1: Queremos demostrar que la raíz cuadrada de 2 (√2) es un número irracional.
- Paso 2: Asumimos lo contrario: que √2 es un número racional. Esto significa que podemos escribir √2 como una fracción p/q, donde p y q son números enteros y la fracción ya no se puede simplificar más (es decir, p y q no tienen factores comunes, y al menos uno de ellos debe ser impar).
- Paso 3: Hacemos algunos cálculos:
* Si √2 = p/q, entonces al elevar ambos lados al cuadrado obtenemos 2 = p²/q². * Multiplicando por q²: 2q² = p². * Esto significa que p² es un número par (porque es igual a 2 multiplicado por otro número). Si p² es par, entonces p también debe ser par. * Si p es par, podemos escribirlo como p = 2r (donde r es otro número entero). * Ahora sustituimos p en la ecuación: 2q² = (2r)² = 4r². * Dividiendo ambos lados por 2: q² = 2r².
- Paso 4: Esto significa que q² es un número par. Si q² es par, entonces q también debe ser par.
- Paso 5: ¡Aquí está la contradicción! Al principio asumimos que p y q no tenían factores comunes y que al menos uno era impar. Pero nuestros cálculos nos llevaron a que tanto p como q son pares. Si ambos son pares, entonces se pueden dividir por 2, lo que significa que la fracción p/q ¡sí se podía simplificar! Esto contradice nuestra suposición inicial de que la fracción ya estaba simplificada.
- Conclusión: Como nuestra suposición de que √2 es racional nos llevó a una contradicción, esa suposición debe ser falsa. Por lo tanto, √2 no puede ser racional, lo que significa que debe ser un número irracional.
Reducción al absurdo
La "reducción al absurdo" (del latín reductio ad absurdum) es una forma muy común de llegar a una contradicción en una prueba por contradicción. Significa que, al asumir algo falso, llegas a una situación que es claramente absurda o imposible. En el ejemplo de la raíz cuadrada de 2, el absurdo fue llegar a que un número era par e impar al mismo tiempo, o que una fracción simplificada en realidad no lo estaba.
Otro ejemplo clásico es demostrar que la suma de un número racional y un número irracional siempre es un número irracional. Si asumes que la suma es racional, con algunos cálculos llegarías a que el número irracional original ¡también es racional!, lo cual es un absurdo.
Descenso infinito
El método del "descenso infinito" es otra forma de usar la prueba por contradicción, pero en lugar de llegar a un absurdo directo, se llega a una imposibilidad diferente. Fue descubierto por el matemático francés Pierre de Fermat alrededor de 1640.
Este método se basa en dos ideas importantes:
- La prueba por contradicción.
- Las propiedades de los números naturales (0, 1, 2, 3...). Sabemos que los números naturales tienen un orden y que hay un número más pequeño (el cero).
Así funciona el descenso infinito: 1. Asumes que existe una solución a un problema (por ejemplo, un conjunto de números que cumplen una ecuación). 2. Luego, demuestras que si esa solución existe, entonces siempre puedes encontrar otra solución más pequeña que la anterior, pero que también cumple las mismas propiedades. 3. Si sigues haciendo esto, podrías encontrar soluciones cada vez más pequeñas, ¡infinitamente! 4. Pero esto es imposible con los números naturales, porque tienen un límite inferior (el cero). No puedes seguir encontrando números naturales positivos cada vez más pequeños para siempre. 5. Esta imposibilidad (el "descenso infinito") es la contradicción que demuestra que tu suposición inicial (que existía una solución) era falsa.
Un ejemplo famoso donde se usó el descenso infinito fue para demostrar un caso del último teorema de Fermat, que dice que no hay números enteros positivos x, y, z que cumplan la ecuación z⁴ + y⁴ = x⁴. La prueba muestra que si existiera una solución, se podría construir otra solución más pequeña, y así sucesivamente, lo cual es imposible.
Otros ejemplos de problemas resueltos con prueba por contradicción
- Demostrar que n⁴ + 4ⁿ nunca es un número primo para n > 1: Se divide en casos (n par o n impar) y en ambos se llega a una contradicción al mostrar que el número siempre se puede factorizar.
- Teorema de Cataldi-Fermat: Si 2ⁿ - 1 es primo, entonces n es primo: Se asume que n no es primo y se demuestra que 2ⁿ - 1 se puede factorizar, lo que contradice la idea de que es primo.
- ¿Puede un número con 600 seises y algunos ceros ser un cuadrado perfecto?: Usando el descenso infinito y otras herramientas matemáticas, se demuestra que no existe tal número.
Véase también
En inglés: Reductio ad absurdum Facts for Kids
- Prueba (ciencia)
- Reducción al absurdo
- Prueba por exhaución
- Teoría de la demostración
