Paralelismo (matemática) para niños
En geometría el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual a 1 (rectas, planos, hiperplanos entre otros). En el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G o G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = 
), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si contienen un mismo vector director.
Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.
Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si, o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.
De manera análoga, en el espacio dos planos son paralelos si, o bien son uno y el mismo plano, o bien no comparten ninguna recta.
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si estos nunca se unen o cruzan.
Axioma de unicidad
El axioma que distingue a la geometría euclidiana de otras geometrías es el siguiente:
- En un plano, por un punto exterior a una recta, pasa una y solo una paralela a dicha recta.
Propiedades
Dado el conjunto P de rectas en el plano, podemos definir la relación binaria: 
que representamos del siguiente modo:
Siendo a, b, c rectas en el plano P, se cumple:
- Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:
- Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:
Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.
- Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:
Luego la relación de paralelismo entre rectas del plano es una relación de equivalencia.
Estas mismas propiedades se pueden comprobar en el conjunto de planos paralelos en el espacio.
Teoremas
- En un plano dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.
- Si en un plano una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las paralelas de esta.
Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.
Véase también
En inglés: Parallel (geometry) Facts for Kids
- Perpendicularidad
- Quinto postulado de Euclides
- Ángulos entre paralelas
- Rectas paralelas cortadas por una secante
