Hiperoperación para niños
En matemáticas, la sucesión de hiperoperaciones es una serie infinita de operaciones aritméticas. Estas operaciones van más allá de las que conocemos, como la suma, la multiplicación y la potenciación. Cada hiperoperación se construye repitiendo la anterior.
Por ejemplo, la multiplicación es una suma repetida (3 x 4 = 3 + 3 + 3 + 3). La potenciación es una multiplicación repetida (3^4 = 3 x 3 x 3 x 3). Las hiperoperaciones continúan este patrón, creando números increíblemente grandes.
El matemático Reuben Goodstein dio nombres a estas operaciones más allá de la potenciación, usando prefijos griegos. Así, tenemos la Tetración (para el nivel 4), la Pentación (para el nivel 5), la Hexación (para el nivel 6), y así sucesivamente. Estas operaciones se pueden escribir usando la Notación flecha de Knuth, que usa flechas hacia arriba para indicar el nivel de la hiperoperación.
Las hiperoperaciones nos permiten expresar números mucho más grandes que la Notación científica. Algunos ejemplos son el número de Skewes y el googolplex. Incluso hay números tan grandes que ni siquiera las hiperoperaciones más sencillas pueden mostrar fácilmente, como el número de Graham o el número ÁRBOL(3).
Contenido
¿Qué son las hiperoperaciones?
Las hiperoperaciones son una forma de entender cómo las operaciones matemáticas se construyen unas sobre otras. Piensa en ellas como una escalera donde cada escalón es una operación más compleja que la anterior.
Niveles de las hiperoperaciones
La sucesión de hiperoperaciones se define de forma recursiva, lo que significa que cada operación se basa en la anterior. Aquí te mostramos los primeros niveles:
- Nivel 0: La función sucesor
* Esta es la operación más básica. Simplemente añade 1 a un número. Por ejemplo, H₀(a, b) = b + 1. Si b es 5, el resultado es 6.
- Nivel 1: La adición (suma)
* La suma es una repetición de la función sucesor. H₁(a, b) = a + b. Por ejemplo, 3 + 2 es como sumar 1 dos veces a 3 (3 + 1 + 1).
- Nivel 2: La multiplicación
* La multiplicación es una suma repetida. H₂(a, b) = a ⋅ b. Por ejemplo, 3 x 2 es como sumar 3 dos veces (3 + 3).
- Nivel 3: La potenciación
* La potenciación es una multiplicación repetida. H₃(a, b) = aᵇ. Por ejemplo, 3⁴ es como multiplicar 3 cuatro veces (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3).
Más allá de la potenciación
Después de la potenciación, la secuencia continúa con operaciones aún más potentes:
- Nivel 4: La tetración
* La tetración es una potenciación repetida. Se escribe como a↑↑b en la notación de Knuth. Por ejemplo, 3↑↑2 es 3³ = 27. Pero 3↑↑3 es 3^(3³) = 3^27, un número enorme.
- Nivel 5: La pentación
* La pentación es una tetración repetida. Se escribe como a↑↑↑b.
- Nivel 6: La hexación
* La hexación es una pentación repetida. Se escribe como a↑↑↑↑b.
En general, para cualquier nivel n mayor o igual a 3, la hiperoperación se puede escribir como a↑^(n-2)b usando la notación de Knuth.
Historia de las hiperoperaciones
El estudio de estas operaciones avanzadas tiene una historia interesante:
- Albert Bennett (1914): Fue uno de los primeros en analizar las hiperoperaciones, investigando las "hiperoperaciones conmutativas".
- Wilhelm Ackermann (1928): Definió una función importante que se parece a la sucesión de hiperoperaciones. Esta función, conocida como la Función de Ackermann, es famosa en la informática por ser un ejemplo de una función que crece muy rápido.
- R. L. Goodstein (1947): Introdujo la sucesión específica de hiperoperaciones que usamos hoy. Él también sugirió los nombres griegos como tetración y pentación.
Notaciones comunes
Existen varias formas de escribir las hiperoperaciones, dependiendo del matemático o el contexto. Algunas de las más conocidas son:
- Notación flecha de Knuth: Es la más usada para niveles altos, como a↑↑b para la tetración.
- Notación de corchetes: Muy popular en internet, se escribe como a[n]b. Por ejemplo, a[3]b es a elevado a b.
- Notación de superíndice: Se usa como a⁽ⁿ⁾b.
Véase también
En inglés: Hyperoperation Facts for Kids
