Distribución χ² para Niños

Datos para niños Distribución χ² (ji al cuadrado)
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	$k\in\mathbb{N}\,$ grados de libertad
Dominio	$x\in(0,+\infty)$
Función de densidad (pdf)	Error al representar (error léxico): \frac{(1/2)^{k/2</td></tr><tr><td class="noprint" colspan="3" style="text-align:left;"></td></tr></table><!--IB_END-->{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\, \| cdf = $\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,$ \| mean = $k\,$ \| median =aproximadamente $k-2/3\,$ \| mode = $k-2\,$ si $k\geq 2\,$ \| variance = $2\,k\,$ \| skewness = $\sqrt{8/k}\,$ \| kurtosis = $3+ 12/k\,$ \| entropy = $\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)$ \| mgf = $(1-2t)^{-k/2}$ para $2t<1\,$ \| char = $(1-2it)^{-k/2}\,$ }} En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución ji al cuadrado (también llamada distribución de Pearson o distribución $\chi^2$ ) con $k\in\mathbb{N}$ grados de libertad es la distribución de la suma del cuadrado de $k$ variables aleatorias independientes con distribución normal estándar. La distribución chi cuadrada es un caso especial de la distribución gamma y es una de las distribuciones de probabilidad más usadas en Inferencia Estadística, principalmente en pruebas de hipótesis y en la construcción de intervalos de confianza. Contenido Definición Como la suma de normales estándar Notación Función de Densidad Función de Distribución Acumulada Propiedades Media Varianza Función generadora de momentos Teorema Intervalos de confianza para muestras de la distribución normal Intervalo para la varianza Distribuciones Relacionadas Aplicaciones Véase también Definición Como la suma de normales estándar Sean $Z_1,\dots,Z_k$ variables aleatorias independientes tales que $Z_i\sim N(0,1)$ para $i=1,2,\dots,k$ entonces la variable aleatoria $X$ definida por $\begin{align} X&=Z_1^2+Z_2^2+\cdots+Z_k^2 \\ &=\sum_{i=1}^kZ_i^2 \end{align}$ tiene una distribución chi cuadrada con $k$ grados de libertad. Notación Si la variable aleatoria continua $X$ tiene una distribución Chi Cuadrada con $k$ grados de libertad entonces escribiremos $X\sim\chi^2_k$ o $X\sim\chi^2(k)$ . Función de Densidad Si $X\sim\chi^2_k$ entonces la función de densidad de la variable aleatoria $X$ es $f_X(x)=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{k}{2}}}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\,x^{\frac{k}{2}-1} e^{-x/2}$ para $x>0$ donde $\Gamma$ es la función gamma. Función de Distribución Acumulada Si $X\sim\chi^2_k$ entonces su función de distribución está dada por $F_X(x)=\frac{\gamma\left(\frac{k}{2},\frac{x}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}$ donde $\gamma(k,z)$ es la función gamma incompleta. En particular cuando $k=2$ entonces esta función toma la forma $F_X(x)=1-e^{-x/2}$ Propiedades Si $X\sim\chi^2_k$ entonces la variable aleatoria $X$ satisface algunas propiedades. Media La media de la variable aleatoria $X$ es $\operatorname{E}[X]=k$ Varianza La varianza de la variable aleatoria $X$ es $\operatorname{Var}(X)=2k$ Función generadora de momentos La función generadora de momentos de $X$ es $M_X(t)=\left(\frac{1}{1-2t}\right)^{k/2}$ para $2t<1$ . Teorema Sea $X_1,\dots,X_n$ una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución $N(\mu,\sigma^2)$ entonces $\overline{X}$ y el vector $\left(X_1-\overline{X},\dots,X_n-\overline{X}\right)$ son independientes. $\overline{X}$ y $S^2$ son independientes. $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2$ . $\operatorname{E}[S^2]=\sigma^2$ y $\operatorname{Var}(S^2)=\frac{2\sigma^4}{n-1}$ . donde $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$ y $S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\right)^2$ son la media y varianza de la muestra aleatoria respectivamente. Intervalos de confianza para muestras de la distribución normal Intervalo para la varianza Sean $X_1,\dots,X_n$ una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución $N(\mu,\sigma^2)$ donde $\mu$ y $\sigma^2$ son desconocidos. Se tiene que $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi_{n-1}^2$ Sean $\chi_{n-1,\alpha/2},\chi_{n-1,1-\alpha/2}\in\mathbb{R}$ tales que $\operatorname{P}[\chi_{n-1,\alpha/2}<Y<\chi_{n-1,1-\alpha/2}]=1-\alpha$ siendo $Y\sim\chi_{n-1}^2$ entonces $\begin{align} &\operatorname{P}\left[\chi_{n-1,\alpha/2}<\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}<\chi_{n-1,1-\alpha/2}\right]=1-\alpha \\ &\operatorname{P}\left[\frac{1}{\chi_{n-1,\alpha/2}}>\frac{\sigma^2}{(n-1)S^2}>\frac{1}{\chi_{n-1,1-\alpha/2}}\right]=1-\alpha \\ &\operatorname{P}\left[\frac{(n-1)S^2}{\chi_{n-1,1-\alpha/2}}<\sigma^2<\frac{(n-1)S^2}{\chi_{n-1,\alpha/2}}\right]=1-\alpha \end{align}$ por lo tanto un intervalo de $(1-\alpha)100\%$ de confianza para $\sigma^2$ está dado por $\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi_{n-1,1-\alpha/2}},\frac{(n-1)S^2}{\chi_{n-1,\alpha/2}}\right)$ Distribuciones Relacionadas La distribución $\chi^2$ con $k$ grados de libertad es un caso particular de la distribución gamma pues si $X \sim \Gamma \left(\frac{k}{2},\frac{1}{2}\right)$ entonces $X\sim\chi^2_k$ . Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema del límite central, puede aproximarse por una distribución normal: $\lim_{k \to \infty} \frac{\chi^2_k (x)}{ k } = N_{(1,\sqrt{2/k})} (x)$ Aplicaciones La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la denominada prueba χ², utilizada como prueba de independencia y como prueba de buen ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student. Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ². Véase esto también Tablas distribución chi-cuadrado Tabla de contingencia Coeficiente de contingencia Coeficiente phi Jean-Paul Benzécri Véase también En inglés: Chi-square distribution Facts for Kids Distribución F Distribución t de Student Distribución normal

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Distribución χ² para niños

Contenido

Definición

Como la suma de normales estándar

Notación

Función de Densidad

Función de Distribución Acumulada

Propiedades

Media

Varianza

Función generadora de momentos

Teorema

Intervalos de confianza para muestras de la distribución normal

Intervalo para la varianza

Distribuciones Relacionadas

Aplicaciones

Véase también