Distribución geométrica para Niños

Datos para niños Geométrica
Parámetros	$0\leq p\leq1$
Dominio	$x\in\{0,1,2,\dots\}$
Función de densidad (pdf)	$p(1-p)^x$
Función de distribución (cdf)	$1-(1-p)^{x+1}$
Media	$\frac{1}{p}$
Moda	0
Varianza	$\frac{1-p}{p^2}$
Coeficiente de simetría	Error al representar (error léxico): \frac{2-p}{\sqrt{1-p</td></tr><tr><td class="noprint" colspan="3" style="text-align:left;"></td></tr></table><!--IB_END--> \|kurtosis= $6+\frac{p^2}{1-p}$ \|entropy= $\frac{-(1-p)\log_2(1-p)-p\log_2p}{p}$ \|mgf= $\frac{p}{1-(1-p)e^t}$ }} En teoría de probabilidad y estadística, la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes: Si $X=\{1,2,\dots\}$ es el número necesario para obtener un éxito. Si $X=\{0,1,2,\dots\}$ es el número de fracasos antes del primer éxito. Contenido Definición Notación Función de probabilidad Función de distribución Propiedades Media Varianza Función generadora de probabilidad Función generadora de momentos Pérdida de Memoria Distribuciones relacionadas Véase también Definición Notación Si una variable aleatoria discreta $X$ sigue una distribución geométrica con parámetro $0<p<1$ entonces escribiremos $X\sim\operatorname{Geometrica}(p)$ o simplemente $X\sim\operatorname{Geo}(p)$ . Función de probabilidad Si la variable aleatoria discreta $X$ se usa para modelar el número de fracasos antes de obtener el primer éxito en una sucesión de ensayos independientes Bernoulli en donde en cada uno de ellos la probabilidad de éxito es $p$ entonces la función de probabilidad de $X\sim\operatorname{Geometrica}(p)$ es $\operatorname{P}[X=x]=p(1-p)^x$ para $x=0,1,2,3,\dots$ Función de distribución Si $X\sim\operatorname{Geometrica}(p)$ entonces la función de distribución está dada por $\begin{align} \operatorname{P}[X\leq x] &=\sum_{k=0}^xp(1-p)^k \\ &=p\sum_{k=0}^x(1-p)^k \\ &=p\left(\frac{1-(1-p)^{x+1}}{1-(1-p)}\right) \\ &=1-(1-p)^{x+1} \end{align}$ para $x=0,1,2,3,\dots$ Propiedades Si $X\sim\operatorname{Geometrica}(p)$ considerando que $X$ modela el número de fracasos antes del primer éxito entonces la variable aleatoria $X$ cumple con algunas propiedades: Media La media de $X$ , siempre que $X$ modele el número de ensayos hasta obtener el primer éxito, está dada por $\operatorname{E}[X]=\frac{1}{p}$ y esta se demuestra fácilmente si consideramos la definición de esperanza $\begin{align} \operatorname{E}[X] &=\sum_{x=1}^\infty xp(1-p)^{x-1} \\ &=p\sum_{x=1}^\infty x(1-p)^{x-1} \\ &=p\sum_{x=1}^\infty \frac{d}{dp} \left( -(1-p)^x\right) \\ &=p \left(-\frac{d}{dp}\sum_{x=1}^\infty (1-p)^x \right) \\ &=p \left(-\frac{d}{dp}\left( \frac{1-p}{p} \right) \right) \\ &=p \left(\frac{d}{dp}\left( 1-\frac{1}{p} \right) \right) \\ &= p \frac{1}{p^2} \\ &=\frac{1}{p} \end{align}$ donde se consideró la serie geométrica $\sum_{n=0}^\infty \alpha^n=\frac{1}{1-\alpha}$ si $\|\alpha\|<1$ . Varianza La varianza de $X$ está dada por $\operatorname{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}$ . Función generadora de probabilidad La función generadora de probabilidad f.g.p está dada por $G_X(t)=\frac{p}{1-t(1-p)}$ . si $\|t\|<(1-p)^{-1}$ . Función generadora de momentos La función generadora de momentos está dada por $M_X(t)=\frac{p}{1-(1-p)e^t}$ si $t<-\ln(1-p)$ . Pérdida de Memoria La distribución geométrica tiene la propiedad de pérdida memoria, es decir, para cualesquiera $m,n\geq0$ $\operatorname{P}[X > m+n \| X>m]=\operatorname{P}[X>n]$ . Su distribución análoga, la distribución exponencial, también tiene la propiedad de pérdida de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos. La distribución geométrica es la única distribución discreta que tiene la propiedad de pérdida de memoria. Distribuciones relacionadas La distribución geométrica $Y$ es un caso particular de la distribución binomial negativa con parámetro $k=1$ . Más generalmente, si $Y_1,Y_2,\dots,Y_k$ son variables aleatorias independientes distribuidas geométricamente con parámetro $p$ entonces $Z = \sum_{m=1}^k Y_m\sim\operatorname{BN}(k,p)$ es decir, $Z$ sigue a una distribución binomial negativa con parámetros $k$ y $p$ . La distribución geométrica es un caso especial de la distribución compuesta de Poisson. Si $Y_1,Y_2,\dots,Y_r$ son variables aleatorias independientes distribuidas geométricamente (con diferentes parámetros de éxito p_m posibles ), entonces su mínimo $W = \min_{m} Y_m$ también está geométricamente distribuido con parámetro $p = 1-\prod_{m}(1-p_m)$ . Véase también En inglés: Geometric distribution Facts for Kids Distribución binomial Distribución binomial negativa Distribución de Poisson Distribución de Bernoulli Distribución exponencial

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Distribución geométrica para niños

Contenido

Definición

Notación

Función de probabilidad

Función de distribución

Propiedades

Media

Varianza

Función generadora de probabilidad

Función generadora de momentos

Pérdida de Memoria

Distribuciones relacionadas

Véase también