Distribución geométrica para Niños

Datos para niños Geométrica
Parámetros	$0\leq p\leq1$
Dominio	Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): x\in\{1,2,\dots\}
Función de densidad (pdf)	Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): p(1-p)^{x-1}
Función de distribución (cdf)	Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): 1-(1-p)^{x}
Media	$\frac{1}{p}$
Moda	0
Varianza	$\frac{1-p}{p^2}$
Coeficiente de simetría	Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{2-p}{\sqrt{1-p</td></tr><tr><td class="noprint" colspan="3" style="text-align:left;"></td></tr></table><!--IB_END--> \|kurtosis= $6+\frac{p^2}{1-p}$ \|entropy= $\frac{-(1-p)\log_2(1-p)-p\log_2p}{p}$ \|mgf=Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \frac{pe^t}{1-(1-p)e^t} }} En el mundo de la teoría de probabilidad y la estadística, la distribución geométrica es una herramienta matemática muy útil. Nos ayuda a calcular la probabilidad de cuántos intentos necesitamos para conseguir algo por primera vez. Imagina que estás lanzando una moneda hasta que salga "cara". La distribución geométrica te diría cuántos lanzamientos es probable que necesites. Existen dos formas principales de entenderla: Contar el número de intentos fallidos antes de conseguir el primer éxito. Contar el número total de intentos hasta obtener el primer éxito. Contenido ¿Cómo Funciona la Distribución Geométrica? ¿Qué es una Variable Aleatoria Geométrica? Calculando la Probabilidad de Éxito ¿Cómo se Acumulan las Probabilidades? Características Importantes ¿Cuál es el Número Promedio de Intentos? ¿Qué Tan Variados Son los Resultados? La Propiedad de "Pérdida de Memoria" Otras Distribuciones Relacionadas Véase también ¿Cómo Funciona la Distribución Geométrica? ¿Qué es una Variable Aleatoria Geométrica? Una variable aleatoria es un valor que puede cambiar en un experimento. Si una variable $X$ sigue una distribución geométrica con un parámetro $p$ (que es la probabilidad de éxito en cada intento), lo escribimos como $X\sim\operatorname{Geo}(p)$ . El valor de $p$ siempre está entre 0 y 1. Calculando la Probabilidad de Éxito Si queremos saber la probabilidad de que el primer éxito ocurra exactamente en el intento número $x$ (contando todos los intentos), usamos esta fórmula: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \operatorname{P}[X=x]=p(1-p)^{x-1} Aquí, $p$ es la probabilidad de éxito en un solo intento. El término $(1-p)$ es la probabilidad de fracaso. La parte Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (1-p)^{x-1} significa que hubo $x-1$ fracasos antes del éxito final. Por ejemplo, si la probabilidad de éxito ( $p$ ) es 0.2 (20%), y queremos saber la probabilidad de que el primer éxito ocurra en el tercer intento ( $x=3$ ): Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \operatorname{P}[X=3]=0.2(1-0.2)^{3-1} = 0.2(0.8)^2 = 0.2 \times 0.64 = 0.128 . Esto significa que hay un 12.8% de probabilidad de que el primer éxito sea en el tercer intento. ¿Cómo se Acumulan las Probabilidades? La función de distribución nos dice la probabilidad de que el primer éxito ocurra en el intento $x$ o antes. Es decir, Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \operatorname{P}[X\leq x] . Se calcula sumando las probabilidades de que el éxito ocurra en el primer intento, en el segundo, y así sucesivamente, hasta el intento $x$ . La fórmula simplificada es: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \operatorname{P}[X\leq x] = 1-(1-p)^{x} Características Importantes ¿Cuál es el Número Promedio de Intentos? La media (o promedio) de una distribución geométrica nos dice cuántos intentos esperamos necesitar para conseguir el primer éxito. Se calcula de forma sencilla: $\operatorname{E}[X]=\frac{1}{p}$ Si la probabilidad de éxito ( $p$ ) es 0.5 (como lanzar una moneda), el promedio de intentos para obtener "cara" sería Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): 1/0.5 = 2 . Esto significa que, en promedio, necesitarías 2 lanzamientos. ¿Qué Tan Variados Son los Resultados? La varianza nos indica qué tan dispersos o variados son los resultados alrededor del promedio. Una varianza alta significa que los resultados pueden estar muy lejos del promedio, mientras que una baja indica que están más cerca. Para la distribución geométrica, la varianza se calcula así: $\operatorname{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}$ La Propiedad de "Pérdida de Memoria" Una característica muy especial de la distribución geométrica es su "pérdida de memoria". Esto significa que el pasado no afecta el futuro. Imagina que estás lanzando una moneda para obtener "cara". Si ya has lanzado la moneda 10 veces y no ha salido "cara", la probabilidad de que salga "cara" en el siguiente lanzamiento sigue siendo la misma que al principio. La moneda no "recuerda" los lanzamientos anteriores. En términos matemáticos, esto se expresa como: $\operatorname{P}[X > m+n \| X>m]=\operatorname{P}[X>n]$ . Esto significa que la probabilidad de necesitar $n$ intentos adicionales, dado que ya fallaste $m$ veces, es la misma que la probabilidad de necesitar $n$ intentos desde el principio. La distribución geométrica es la única distribución discreta (que cuenta cosas) que tiene esta propiedad. Otras Distribuciones Relacionadas Distribución binomial negativa: La distribución geométrica es un caso especial de esta, donde solo esperamos un éxito. Si sumas varias distribuciones geométricas independientes, obtienes una distribución binomial negativa. Distribución exponencial: Es la versión "continua" de la distribución geométrica y también tiene la propiedad de pérdida de memoria. Véase también En inglés: Geometric distribution Facts for Kids Distribución binomial Distribución de Bernoulli Distribución de Poisson

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Distribución geométrica para niños

Contenido

¿Cómo Funciona la Distribución Geométrica?

¿Qué es una Variable Aleatoria Geométrica?

Calculando la Probabilidad de Éxito

¿Cómo se Acumulan las Probabilidades?

Características Importantes

¿Cuál es el Número Promedio de Intentos?

¿Qué Tan Variados Son los Resultados?

La Propiedad de "Pérdida de Memoria"

Otras Distribuciones Relacionadas

Véase también