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Constante de Rydberg para niños

Enciclopedia para niños

La constante de Rydberg, llamada así por el físico Johannes Rydberg, es una constante física que aparece en la fórmula de Rydberg. Fue descubierta cuando se midió el espectro del hidrógeno, y construida sobre resultados de mediciones cuánticas de Anders Jonas Ångström y Johann Jakob Balmer.

Es una de las mejor determinadas, con una incertidumbre experimental relativa de menos de 7 partes por trillón. La capacidad de medirla directamente a una tan alta precisión confirma las proporciones de los valores de las otras constantes físicas que la definen, y puede ser utilizado para probar rigurosas teorías físicas como la electrodinámica cuántica.

Descripción

Constante de Rydberg

La constante de Rydberg del "infinito" es (de acuerdo a los resultados del CODATA en el 2010):

R_\infty = \frac {m_e \ e^4}{(4 \pi \epsilon_0)^2 \ \hbar^3 \ (4 \pi c)}

 R_\infty = \frac {m_e \ e^4}{8 \ (\epsilon_0)^2 \ h^3 \ c}
Símbolo Nombre Valor Unidad Fórmula
R_\infty Constante de Rydberg 1.0973731568539(55)E7 m-1
m_e Masa en reposo del electrón 9.10938291(40)E-31 kg
e Carga elemental 1.602176487(40)E-19 C
\epsilon_0 Permitividad 8.8541878176E-12 C2 / (N m2)
\hbar Constante de Planck reducida 1.054571817E-34 J s \hbar = \frac{h}{2 \pi}
c Velocidad de la luz en el vacío 299792458 m / s

Cada uno de los elementos químicos tiene su propia constante de Rydberg. Para todos los átomos similares al Hidrógeno (átomos con un solo electrón en su última órbita) la constante de Rydberg R_M\, puede ser derivada de la constante de Rydberg del "infinito", de esta forma:

R_M = \frac {R_\infty}{1 + (m_e/M)}

R_M = \Bigl(\frac{M}{M+m_e}\Bigr) R_\infty
Símbolo Nombre Unidad
R_M Constante de Rydberg para cierto átomo con un electrón con la masa en reposo m_e \
R_\infty Constante de Rydberg m-1
M Masa de su núcleo atómico kg
m_e Masa en reposo del electrón kg

Unidad de energía Rydberg

Esta constante se utiliza a menudo en la física atómica en forma de energía:

 1 \ \mathrm{Ry} \equiv
h \ c \ R_\infty
Símbolo Nombre Valor Unidad
\mathrm{Ry} Unidad de energía Rydberg  \equiv \,13.6056923(12) eV
h Constante de Planck 6.582119569E-16 eV s
c Velocidad de la luz en el vacío 299792458 m / s
R_\infty Constante de Rydberg 1.0973731568539(55)E7 m-1

Frecuencia Rydberg

Símbolo Nombre Valor Unidad
c \, R_\infty Frecuencia Rydberg 3.2898419602508(64)E15 Hz
c Velocidad de la luz en el vacío 299792458 m / s
R_\infty Constante de Rydberg 1.0973731568539(55)E7 m-1

Longitud de onda Rydberg

Símbolo Nombre Valor Unidad
\frac {1}{R_\infty} Longitud de onda Rydberg 9.112670505824(17)E-18 m
\frac {1}{2 \pi R_\infty} Longitud de onda angular Rydberg 1.4503265557696(28)E-8 m
R_\infty Constante de Rydberg 1.0973731568539(55)E7 m-1

Expresiones alternas

La constante de Rydberg también puede ser expresada con las siguientes ecuaciones.

  R_\infty =
   \frac {\alpha^2 \ m_e \ c}{4 \pi \ \hbar} =
   \frac {\alpha^2}{2 \lambda_e}

y

 h \ c \ R_\infty = \frac {h \ c \ \alpha^2}{2 \lambda_e} =
                   \frac {h \ f_C \ \alpha^2}{2} =
                   \frac {\hbar \ \omega_C}{2} \alpha^2

Símbolo Nombre
h Constante de Planck
\hbar Constante de Planck reducida
c Velocidad de la luz en el vacío
\alpha Constante de estructura fina
\lambda_e Longitud de onda de Compton de un electrón
f_C Frecuencia de Compton de un electrón
\omega_C Frecuencia angular de Compton de un electrón

La constante de Rydberg para el hidrógeno

Usando el valor obtenido por CODATA en el 2002 para el cociente entre la masa de un electrón con la masa de un protón de  m_e / m_p = 5.446 170 2173(25) \cdot 10^{-4} \ , en la fórmula general para la constante de Rydberg para cualquier elemento similar al hidrógeno  R_M \ , encontramos que la constante para el hidrógeno,  R_H \ .

 R_H = 10 967 758.341 \pm 0.001 \ \mathrm {m}^{-1}

Usando  R = R_H \ en la fórmula de Rydberg para los átomos similares a hidrógeno, podemos obtener que el espectro de emisión del hidrógeno,

 \frac{1}{\lambda_{\mathrm{vac}}} =
   R_{\mathrm{H}} Z^2 \left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)
Símbolo Nombre Valor Unidad Fórmula
\lambda_{\mathrm{vac}} Longitud de onda de la luz emitida en el vacío m-1
R_{\mathrm{H}} Constante de Rydberg para el hidrógeno 10967758.341 m-1
n_1 Entero n_1 < n_2
n_2 Entero
Z Número atómico, que es 1 para el hidrógeno

Derivación de la constante de Rydberg

La constante de Rydberg para el hidrógeno puede ser derivada usando la condición de Bohr, la fuerza centrípeta, el campo eléctrico, y la energía total de un electrón en órbita alrededor de un protón (correspondiente al caso de un átomo de hidrógeno).

  • Condición de Bohr, el momento angular de un electrón puede tener solo ciertos valores discretos:

 L = m_e \ u \ r = n \frac {h}{2 \pi} = n \hbar

Donde n = 1,2,3,… (algún entero) y es llamado el número cuántico principal, h\; es la constante de Planck, y \hbar=h/(2\pi) la constante de Planck racionalizada y r\; es el radio de órbita de un electrón.
  • Fuerza necesaria para mantener el movimiento circular (a.k.a. fuerza centrípeta),
F_\mathrm{centripeta}= \frac{m_eu^2}{r}
Símbolo Nombre
m_e Masa en reposo del electrón
u Velocidad del electrón
  • Fuerza eléctrica de atracción entre un electrón y un protón:
F_\mathrm {electrica}= \frac {e^2}{4 \pi \epsilon_0 \ r^2 }
Símbolo Nombre
e Carga elemental
\epsilon_0 Permitividad

La expresión para la energía total (suma de la cinética y la potencial eléctrica) de un electrón a una distancia r\; de un protón es

E_\mathrm {total} = - \frac {e^2}{ 8 \pi \epsilon_0 \ r}

La expresión anterior puede derivarse a partir de un tratamiento mecanocuántico riguroso del átomo de hidrógeno, pero Bohr la dedujo a partir de la cuantización del momento angular y de las expresiones clásicas de las energías cinética y potencial eléctrica. Para comenzar, tomamos la condición primaria de Bohr y la solucionamos en términos de la velocidad orbital permitida del electrónu:

 u = \frac {n h}{2 \pi \ r \ m_e}

Ya que el campo eléctrico que atrae el electrón al núcleo es la fuerza centrípeta que lleva al electrón una órbita circular alrededor del protón, podemos fijar:  F_\mathrm{centripeta} = F_\mathrm{electrica} para obtener

\frac {m_e \ u^2}{r} = \frac {e^2}{4 \pi \epsilon_0 \ r^2 }

Sustituyendo la expresión previa para la velocidad de la órbita del electrón u \ in y resolviendo para r \ se obtiene:  r = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0 }{ \pi m_e e^2} \

Este valor de r supuestamente representa los únicos valores permitidos para el radio orbital de un electrón que orbita alrededor de un protón asumiendo que la condición de Bohr sostiene la naturaleza de la onda de un electrón. Si ahora se sustituye r en la expresión para la energía total de un electrón una cierta distancia de un protón, se tiene:

E_\mathrm {total} = \frac {- m_e \ e^4}{8 \ (\epsilon_0)^2 \ h^2}. \frac {1}{n^2}

Para eso el cambio de energía en un electrón sustituyendo de un valor de n a otro es

 \Delta E =
\frac {m_e \ e^4}{8 \ (\epsilon_0)^2 \ h^2}
\left(\frac {1}{(n_\mathrm{inicial})^2} - \frac {1}{(n_\mathrm{final})^2}\right)

Simplemente cambiamos las unidades a longitud de onda \left( \frac{1}{ \lambda} = \frac {E}{hc} \rightarrow \Delta{E} = hc \Delta \left( \frac{1}{\lambda}\right)\right) \ y obtenemos:

 \Delta \left(\frac {1}{ \lambda}\right) =
\frac {m_e \ e^4}{8 \ (\epsilon_0)^2 \ h^3 \ c}
\left(\frac {1}{(n_\mathrm{inicial})^2} - \frac {1}{(n_\mathrm{final})^2}\right)
Símbolo Nombre
h Constante de Planck
m_e Masa en reposo de un electrón
e Carga elemental
c Velocidad de la luz en el vacío
\epsilon_0 Permitividad
n_\mathrm{inicial} Número de electrones en la última capa del átomo de hidrógeno
n_\mathrm{final}

Por lo tanto hemos encontrado que la constante de Rydberg para el hidrógeno es:

 R_H = \frac{ m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Rydberg constant Facts for Kids

  • Fórmula de Rydberg
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Constante de Rydberg para Niños. Enciclopedia Kiddle.