Hipótesis de Poincaré para niños
Datos para niños Teorema de Poincaré |
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 Para superficies bidimensionales compactas sin fronteras, si cada bucle se puede comprimir continuamente en un punto, entonces la superficie es topológicamente homeomórfica a una 2-esfera (generalmente llamada simplemente esfera). La conjetura de Poincaré, probada por Grigori Perelmán, afirma que lo mismo es cierto para los espacios tridimensionales.
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| Tipo | Teorema | |
| Campo | Topología geométrica | |
| Declaración | Cada 3-variedad simplemente conexa y cerrada es un homeomorfismo respecto a la 3-esfera. | |
| Conjeturado por | Henri Poincaré | |
| Conjeturado en | 1904 | |
| Demostrado por | Grigori Perelmán | |
| Demostrado en | 2006 | |
| Implícito por |
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| Problema abierto | No | |
| Generalizaciones | Conjetura generalizada de Poincaré | |
En el mundo de las matemáticas, específicamente en una rama llamada topología, existe un concepto muy importante conocido como el Teorema de Poincaré. Antes de ser un teorema (una verdad demostrada), fue una conjetura (una idea o pregunta sin probar).
Este teorema trata sobre una forma especial de esfera en cuatro dimensiones, que los matemáticos llaman la 3-esfera o hiperesfera. Imagina que puedes estirar y encoger una forma sin romperla. El teorema dice que la 3-esfera es la única forma tridimensional "cerrada" (como la superficie de una pelota) en la que cualquier lazo o círculo que dibujes sobre ella puede encogerse hasta convertirse en un solo punto.
En 2006, el matemático Grigori Perelmán logró demostrar esta idea, convirtiendo la conjetura en un teorema.
Contenido
¿Qué es el Teorema de Poincaré?
El Teorema de Poincaré nos ayuda a entender cómo son las formas en diferentes dimensiones. Piensa en la superficie de un balón de fútbol. Es una forma de dos dimensiones (una 2-esfera). Puedes apretarla, estirarla o cambiar su forma, pero si no la rompes, sigue siendo una 2-esfera.
¿Qué significa "simplemente conexa"?
Para saber si una forma es una 2-esfera, puedes imaginar una banda elástica sobre su superficie. Si puedes encoger esa banda hasta que sea un solo punto, sin que se salga de la superficie, entonces la forma es "simplemente conexa". Esto significa que no tiene agujeros que impidan encoger el lazo.
En el siglo XIX, los matemáticos descubrieron que cualquier forma de dos dimensiones que fuera "cerrada" y "simplemente conexa" era, en realidad, como una esfera (o se podía transformar en una esfera sin romperla).
La pregunta de Poincaré
En 1904, el matemático francés Henri Poincaré se preguntó si esta misma idea se aplicaba a las formas de tres dimensiones. Él pensó que si una forma tridimensional era "cerrada" y "simplemente conexa", entonces debía ser como una 3-esfera.
Pero Poincaré no pudo demostrarlo. Durante mucho tiempo, esta pregunta, conocida como la Conjetura de Poincaré, se convirtió en uno de los problemas más difíciles y famosos de las matemáticas.
¿Por qué fue tan difícil?
Aunque la idea parecía sencilla, probarla para tres dimensiones era muy complicado. Los matemáticos lograron demostrar versiones de la conjetura para otras dimensiones (como 5, 7, 6 e incluso 4), pero el caso original de la 3-esfera se resistía.
La resolución de un gran misterio
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El misterio de la Conjetura de Poincaré fue resuelto por el matemático ruso Grigori Perelmán. En 2002, Perelmán publicó sus ideas en internet, y después de años de revisión por otros matemáticos, su trabajo fue confirmado en 2006.
El Premio del Milenio
La Conjetura de Poincaré era tan importante que el Instituto Clay de Matemáticas la incluyó como uno de sus siete "Problemas del Milenio". Ofrecieron un premio de un millón de dólares a quien la resolviera correctamente.
Perelmán fue reconocido con la prestigiosa Medalla Fields (considerada como el "Nobel" de las matemáticas) en 2006 y el Premio del Milenio en 2010. Sin embargo, él rechazó ambos premios, explicando que no necesitaba más reconocimiento aparte de la validez de su trabajo.
¿Cómo se demostró?
Perelmán demostró la conjetura usando una técnica matemática llamada "flujo de Ricci". Imagina que tienes una forma y la "deformas" o "suavizas" poco a poco, como si fuera una masa que se va redondeando. El flujo de Ricci hace que las formas se vuelvan más esféricas.
A veces, al aplicar este flujo, la forma puede desarrollar "singularidades" (puntos donde la forma se vuelve extraña, como un pellizco o una esquina). Perelmán y otros matemáticos encontraron una manera de "cortar" la forma en esos puntos y luego "pegar" las piezas de nuevo, haciendo que se volvieran más redondas.
El gran logro de Perelmán fue demostrar que, al hacer esto, todas las formas tridimensionales "cerradas" y "simplemente conexas" terminan transformándose en esferas. Esto significa que, en esencia, solo hay una forma así: la 3-esfera.
Galería de imágenes
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Henri Poincaré (1854-1912), un matemático francés muy importante.
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En una esfera normal (2-esfera), cualquier lazo se puede encoger hasta un punto. La Conjetura de Poincaré se preguntaba si esto era cierto para la 3-esfera, que no podemos ver directamente. Grigori Perelmán demostró que sí.
Véase también
En inglés: Poincaré conjecture Facts for Kids
