Clase lateral para niños

En matemáticas, imagina que tienes un grupo de elementos, como los números enteros con la suma, o las rotaciones de una figura. Dentro de ese grupo grande, llamado G, puede haber un grupo más pequeño, al que llamamos subgrupo H.

Cuando tomas un elemento cualquiera de G (llamémoslo g) y lo "multiplicas" (o "sumas", dependiendo de la operación del grupo) por cada elemento del subgrupo H, obtienes un nuevo conjunto de elementos.

• Si multiplicas g por la izquierda de cada elemento de H (gH = {gh : h es un elemento de H}), a esto se le llama una clase lateral izquierda de H en G.
• Si multiplicas g por la derecha de cada elemento de H (Hg = {hg : h es un elemento de H}), a esto se le llama una clase lateral derecha de H en G.

Piensa en una clase lateral como una "copia desplazada" o "movida" del subgrupo H dentro del grupo G.

Solo si el subgrupo H es un subgrupo normal (un tipo especial de subgrupo), las clases laterales izquierdas y derechas serán exactamente iguales. Esta es una de las formas de definir un subgrupo normal.

Una clase lateral puede ser izquierda o derecha. Es importante saber de qué subgrupo viene, porque una clase lateral derecha de un subgrupo puede ser igual a una clase lateral izquierda de otro subgrupo diferente.

Si el grupo usa la suma en lugar de la multiplicación (como los números), las clases laterales se escriben como g+H y H+g.

Ejemplos de Clases Laterales

Clases Laterales en Aritmética de Reloj

Vamos a usar un ejemplo sencillo. Imagina un reloj de 4 horas, donde los números son {0, 1, 2, 3}. Cuando llegas a 4, vuelves a 0. Este es un grupo cíclico llamado Z₄.

Dentro de Z₄, tenemos un subgrupo H = {0, 2}. Este subgrupo es como un reloj de 2 horas.

Ahora, vamos a encontrar las clases laterales izquierdas de H en Z₄:

• 0 + H = {0+0, 0+2} = {0, 2} = H (Esta es la clase lateral que contiene al propio subgrupo).
• 1 + H = {1+0, 1+2} = {1, 3}
• 2 + H = {2+0, 2+2} = {2, 0} = H (Es la misma que 0 + H).
• 3 + H = {3+0, 3+2} = {3, 1} (Es la misma que 1 + H).

Como puedes ver, solo hay dos clases laterales diferentes: {0, 2} y {1, 3}.

Observa que si juntas estas dos clases laterales ({0, 2} y {1, 3}), obtienes todos los elementos de Z₄. Esto significa que las clases laterales "dividen" el grupo G en partes que no se superponen.

Como Z₄ es un grupo abeliano (el orden de la suma no importa, 1+2 es igual a 2+1), las clases laterales derechas son iguales a las izquierdas.

Clases Laterales en Geometría

En geometría, los vectores (flechas que tienen dirección y longitud) forman un grupo cuando los sumamos. Los subespacios (como líneas o planos que pasan por el origen) son subgrupos.

Si tomas un subespacio W (por ejemplo, una línea que pasa por el origen) y le sumas un vector fijo a, obtienes un conjunto de puntos que forman una línea paralela a W pero que no pasa por el origen. Estos conjuntos son clases laterales. Son como "desplazar" la línea o el plano original.

Características Importantes de las Clases Laterales

• Una clase lateral gH es igual al subgrupo H solo si g es un elemento de H.
• Las clases laterales izquierdas de un subgrupo H en un grupo G son o bien idénticas o no tienen ningún elemento en común. Esto significa que las clases laterales dividen el grupo G en partes que no se superponen y que, juntas, forman todo el grupo G.
• El elemento "neutro" del grupo (el que no cambia nada al operar, como el 0 en la suma o el 1 en la multiplicación) siempre pertenece a la clase lateral que es el propio subgrupo H.

El Índice de un Subgrupo

Todas las clases laterales (izquierdas o derechas) de un subgrupo H tienen el mismo número de elementos que el propio H.

Además, el número de clases laterales izquierdas es siempre igual al número de clases laterales derechas. A este número se le llama el índice de H en G, y se escribe [G : H ].

El teorema de Lagrange nos da una fórmula muy útil para grupos finitos: El número de elementos de G (escrito |G|) es igual al índice de H en G multiplicado por el número de elementos de H (escrito |H|).

|G | = [G : H ] • |H |.

Clases Laterales y Subgrupos Normales

Si un subgrupo H no es normal, entonces sus clases laterales izquierdas serán diferentes de sus clases laterales derechas. Esto significa que la forma en que las clases laterales izquierdas dividen el grupo será diferente de la forma en que lo dividen las clases laterales derechas.

Sin embargo, si un subgrupo N es normal, entonces gN siempre será igual a Ng para cualquier elemento g de G. En este caso especial, todas las clases laterales forman un nuevo grupo, llamado grupo cociente G /N.

Véase también

En inglés: Coset Facts for Kids

• Grupo cociente
• Teorema de Lagrange