Radical jerarquizado para niños
En álgebra, los radicales jerarquizados son expresiones matemáticas donde una raíz (como una raíz cuadrada o cúbica) contiene otra expresión con una raíz dentro de ella. Imagina una caja dentro de otra caja, pero en matemáticas, con raíces.
Por ejemplo, una expresión como la raíz cuadrada de (5 menos 2 veces la raíz cuadrada de 5) es un radical jerarquizado. Otro ejemplo sería la raíz cúbica de (2 más la raíz cuadrada de 3 más la raíz cúbica de 4).
Resolver estas raíces puede ser un desafío. Sin embargo, algunos tipos especiales de radicales jerarquizados se pueden simplificar si asumimos que su solución es la suma de dos raíces más sencillas.
Contenido
¿Cómo se simplifican algunos radicales jerarquizados?
Algunos radicales jerarquizados tienen una forma específica que permite simplificarlos. Si tienes una expresión como la raíz cuadrada de (A más o menos la raíz cuadrada de B), a veces se puede escribir como la suma o resta de dos raíces cuadradas más simples, como la raíz cuadrada de X más o menos la raíz cuadrada de Y.
Para encontrar X e Y, se usan unas fórmulas especiales. Esto es como "desenredar" la expresión para que sea más fácil de entender.
Radicales infinitamente jerarquizados
¡Aquí es donde las cosas se ponen realmente interesantes! Algunos radicales jerarquizados pueden extenderse infinitamente. Esto significa que la raíz contiene otra raíz, que a su vez contiene otra, y así sucesivamente, sin parar.
Raíces cuadradas infinitas
Piensa en el número 2. Sabemos que 2 es igual a la raíz cuadrada de (2 + 2). Si seguimos esta idea, podemos decir que 2 es igual a la raíz cuadrada de (2 más la raíz cuadrada de (2 + 2)). Si repetimos esto una y otra vez, ¡obtenemos una cadena infinita de raíces! Así, el número 2 se puede escribir como: La raíz cuadrada de (2 más la raíz cuadrada de (2 más la raíz cuadrada de (2 más...)))
Lo mismo ocurre con otros números. Por ejemplo, el número 3 se puede escribir como: La raíz cuadrada de (6 más la raíz cuadrada de (6 más la raíz cuadrada de (6 más...)))
Y el número 4 como: La raíz cuadrada de (12 más la raíz cuadrada de (12 más la raíz cuadrada de (12 más...)))
En general, si tienes un número "r" mayor que uno, puedes expresarlo como una raíz cuadrada infinita de la forma: La raíz cuadrada de (r multiplicado por (r-1) más la raíz cuadrada de (r multiplicado por (r-1) más...))
Estos radicales infinitos pueden ayudarnos a representar números racionales. Si llamamos a la expresión infinita "x", podemos escribir una ecuación. Por ejemplo, para la expresión infinita que da 2: x = la raíz cuadrada de (2 + x) Si resolvemos esta ecuación, encontramos que x es igual a 2.
El famoso matemático indio Ramanujan encontró otra forma sorprendente de expresar números enteros como radicales jerarquizados infinitos. Por ejemplo, descubrió que el número 3 se puede escribir como: La raíz cuadrada de (1 más 2 veces la raíz cuadrada de (1 más 3 veces la raíz cuadrada de (1 más 4 veces la raíz cuadrada de (1 más...))))
Esto muestra que casi cualquier número entero mayor que 1 puede expresarse de esta manera tan curiosa.
Raíces cúbicas infinitas
La idea de los radicales infinitamente jerarquizados no es solo para las raíces cuadradas. También funciona con las raíces cúbicas. Por ejemplo, el número 2 se puede obtener de la siguiente expresión infinita: La raíz cúbica de (6 más la raíz cúbica de (6 más la raíz cúbica de (6 más...)))
Si llamamos a esta expresión "x", podemos escribir la ecuación: x = la raíz cúbica de (6 + x) Al resolverla, encontramos que x es igual a 2.
Usando radicales jerarquizados para resolver ecuaciones
A veces, estas expresiones infinitas pueden ser útiles para encontrar las soluciones de ecuaciones. Si tenemos una ecuación como `x = la raíz cuadrada de (2 + x)`, podemos ver que el valor de `x` se repite dentro de la raíz. Esto nos lleva a la idea de una serie infinita.
Si consideramos que esta serie se extiende hasta el infinito, podemos encontrar la solución de la ecuación sin necesidad de usar fórmulas complicadas. Esta idea es válida para muchas ecuaciones, incluso para algunas ecuaciones polinómicas.
Descomposición de raíces con índices compuestos
Una raíz con un índice compuesto (un número que se puede multiplicar por otros números para obtenerlo, como el 6, que es 2x3) se puede descomponer en varios radicales jerarquizados. Por ejemplo, la raíz sexta de un número "x" es lo mismo que la raíz cuadrada de la raíz cúbica de "x". O, al revés, la raíz cúbica de la raíz cuadrada de "x". El orden no cambia el resultado.
Esto es útil si no tienes una calculadora avanzada, ya que puedes convertir una raíz compleja en una serie de raíces más simples que quizás puedas calcular. Por ejemplo, para encontrar la raíz cuarta de un número, puedes calcular la raíz cuadrada y luego, a ese resultado, volver a calcularle la raíz cuadrada.
Números especiales expresados como radicales jerarquizados
Algunos números muy importantes en matemáticas, que no son enteros ni fracciones simples, también se pueden expresar usando radicales infinitamente jerarquizados.
Uno de ellos es el número áureo (Phi, aproximadamente 1.618). Aunque se puede calcular de forma sencilla, también se puede expresar como: La raíz cuadrada de (1 más la raíz cuadrada de (1 más la raíz cuadrada de (1 más...)))
Otro ejemplo es el número Pi (aproximadamente 3.14159), que se usa para calcular el perímetro y el área de los círculos. Pi también se puede aproximar con una expresión que involucra una serie infinita de raíces cuadradas, relacionada con un método antiguo que usaban los matemáticos para calcular su valor.
Véase también
En inglés: Nested radical Facts for Kids
