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Punto de inflexión para niños

Enciclopedia para niños
Para el punto de inflexión desde el punto de vista del clima, véase Punto de inflexión (climatología).
Archivo:Función real continua ck
Gráfico de y = f(x) con un punto de inflexión en a.

En la matemática, un punto de inflexión de una función, es un punto donde los valores de una función continua en x pasan de un tipo de concavidad a otra. La curva «atraviesa» la tangente. Matemáticamente, la segunda derivada de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar los puntos de x que cumplen esta condición. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente:

  1. Se halla la primera derivada de f \rightarrow f'(x)
  2. Se halla la segunda derivada de f \rightarrow f''(x)
  3. Se halla la tercera derivada de f \rightarrow f'''(x)
  4. Se iguala la segunda derivada a 0: f\,''(x) = 0
  5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: x = \big\{x_1, x_2,..., x_n / f''(x_i)= 0 \quad \forall i = 1,2,...,n \big\} .
  6. Se halla la imagen de cada x_i\,sustituyendo la variable dependiente en la función.
  7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada x_i\,:
    1. Si f'''\,(x_i) \ne 0 , se tiene un punto de inflexión en P\, (x_i, f(x_i)).
    2. Si f'''\,(x_i) = 0, debemos sustituir x_i\, en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que x_i\, no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
      1. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
      2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

La ecuación f(x)=x^4+2x no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en x_0=0 la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en x_0=0 es la derivada cuarta, que es par. Obsérvese que f tampoco presenta un extremo en x_0.

Galería de ejemplos

Derivada igual a cero

Función continua 44.svg
Función continua y derivable en a
f'(a)= 0
Función creciente para x < a.
Función decreciente para x > a.
Función estacionaria en a.
Para x < a la función es cóncava.
Para x > a la función es cóncava.
Para x = a máximo relativo.
Función continua 66.svg
Función continua y derivable en a
f'(a)= 0
Función decreciente para x < a.
Función creciente para x > a.
Función estacionaria en a.
Para x < a la función es convexa.
Para x > a la función es convexa.
Para x = a mínimo relativo.
Función continua 46.svg
Función continua y derivable en a
f'(a)= 0
Función creciente para x < a.
Función creciente para x > a.
Función estacionaria en a.
Para x < a la función es cóncava.
Para x > a la función es convexa.
Para x = a punto de inflexión.
Función continua 64.svg
Función continua y derivable en a
f'(a)= 0
Función decreciente para x < a.
Función decreciente para x > a.
Función estacionaria en a.
Para x < a la función es convexa.
Para x > a la función es cóncava.
Para x = a punto de inflexión.

Derivada mayor que cero

Función continua 37.svg
Función continua y derivable en a
f'(a)> 0
Función creciente para x < a.
Función creciente para x > a.
Función creciente en a.
Para x < a la función es convexa.
Para x > a la función es cóncava.
Para x = a punto de inflexión.
Función continua 38.svg
Función continua y derivable en a
f'(a)> 0
Función creciente para x < a.
Función creciente para x > a.
Función creciente en a.
Para x < a la función es convexa.
Para x > a la función es convexa.
Para x = a punto de tangencia.
Función continua 27.svg
Función continua y derivable en a
f'(a)> 0
Función creciente para x < a.
Función creciente para x > a.
Función creciente en a.
Para x < a la función es cóncava.
Para x > a la función es cóncava.
Para x = a punto de tangencia.
Función continua 28.svg
Función continua y derivable en a
f'(a)> 0
Función creciente para x < a.
Función creciente para x > a.
Función creciente en a.
Para x < a la función es cóncava.
Para x > a la función es convexa.
Para x = a punto de inflexión.

Derivada menor que cero

Función continua 72.svg
Función continua y derivable en a
f'(a)< 0
Función decreciente para x < a.
Función decreciente para x > a.
Función decreciente en a.
Para x < a la función es cóncava.
Para x > a la función es cóncava.
Para x = a punto de tangencia.
Función continua 73.svg
Función continua y derivable en a
f'(a)< 0
Función decreciente para x < a.
Función decreciente para x > a.
Función decreciente en a.
Para x < a la función es cóncava.
Para x > a la función es convexa.
Para x = a punto de inflexión.
Función continua 82.svg
Función continua y derivable en a
f'(a)< 0
Función decreciente para x < a.
Función decreciente para x > a.
Función decreciente en a.
Para x < a la función es convexa.
Para x > a la función es cóncava.
Para x = a punto de inflexión.
Función continua 83.svg
Función continua y derivable en a
f'(a)< 0
Función decreciente para x < a.
Función decreciente para x > a.
Función decreciente en a.
Para x < a la función es convexa.
Para x > a la función es convexa.
Para x = a punto de tangencia.

Derivada infinita

Función continua 19.svg
Función continua y derivable en a
Función creciente para x < a.
Función creciente para x > a.
Función creciente en a.
Para x < a la función es convexa.
Para x > a la función es cóncava.
Para x = a punto de inflexión vertical.
Función continua 91.svg
Función continua y derivable en a
Función decreciente para x < a.
Función decreciente para x > a.
Función decreciente en a.
Para x < a la función es cóncava.
Para x > a la función es convexa.
Para x = a punto de inflexión vertical.

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Inflection point Facts for Kids

Punto crítico
Punto fronterizo
Punto estacionario
Punto singular
Punto de inflexión
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