Números coprimos para niños

En matemáticas, los números coprimos (también llamados números primos entre sí o primos relativos) son dos números enteros que solo tienen un factor en común: el número 1. Esto significa que su máximo común divisor (MCD) es igual a 1.

Es importante saber que dos números coprimos no tienen por qué ser números primos por separado. Por ejemplo, 14 y 15 no son números primos (porque 14 es divisible por 2 y 7, y 15 es divisible por 3 y 5). Sin embargo, 14 y 15 son coprimos, porque el único número que los divide a ambos es el 1. Es decir, el MCD de 14 y 15 es 1.

Otro ejemplo: 6 y 19 son coprimos, porque su único divisor común es 1. Pero 6 y 27 no son coprimos, porque ambos son divisibles por 3 (además de por 1).

El número 1 es coprimo con cualquier otro número entero. El 0 solo es coprimo con 1 y -1.

Para saber rápidamente si dos números enteros son coprimos, se puede usar un método llamado algoritmo de Euclides.

Propiedades de los números coprimos

Propiedades básicas

• Si dos números enteros a y b son coprimos, siempre es posible encontrar otros dos números enteros x e y de tal manera que al multiplicar a por x y b por y, y luego sumar los resultados, el total sea 1. Esto se conoce como la Identidad de Bézout.
• Si a y b son coprimos, y a divide el resultado de multiplicar b por c, entonces a debe dividir a c. Esto se llama el Lema de Euclides.
• Si los números naturales a y b son coprimos, entonces sus cuadrados (a²), su producto (ab) y el cuadrado de b (b²) también son coprimos entre sí.
• Si dos números enteros positivos m y n son coprimos, entonces m, n y la suma de ambos (m+n) también son coprimos.
• Cualquier número entero a y el número siguiente (a+1) siempre son coprimos. Por ejemplo, 7 y 8 son coprimos.

Otras propiedades interesantes

Figura 1. Los números 4 y 9 son coprimos. Si los dibujamos en una cuadrícula, la línea que une el origen (0,0) con el punto (4,9) no pasa por ningún otro punto de la cuadrícula.

• Imagina que dibujas un punto en un plano cartesiano con coordenadas (a, b). Los números a y b son coprimos si, y solo si, puedes "ver" el punto (a, b) directamente desde el origen (0,0) sin que ningún otro punto con coordenadas enteras se interponga en el camino (mira la figura 1).
• La probabilidad de que dos números enteros elegidos al azar sean coprimos es de aproximadamente 6 dividido por π al cuadrado (6/π²).
• Dos números naturales a y b son coprimos si, y solo si, los números 2^a-1 y 2^b-1 también son coprimos.
• La función φ de Euler (se escribe φ(n)) nos dice cuántos números naturales menores que n son coprimos con n.

Una proposición especial

Cualquier número que divida la suma de dos números al cuadrado que son coprimos, también puede expresarse como la suma de dos números al cuadrado. Por ejemplo: 41 divide a 1681. Sabemos que 1681 es igual a 9² + 40² (y 9 y 40 son coprimos). Entonces, 41 también se puede escribir como la suma de dos cuadrados: 41 = 5² + 4².

Conceptos relacionados

• Número primo
• Máximo común divisor

Véase también

En inglés: Coprime integers Facts for Kids