Paradoja del cuadrado perdido para niños
La paradoja del cuadrado perdido es una ilusión óptica muy interesante que se usa en matemáticas para entender mejor las figuras geométricas. Imagina un rompecabezas con cuatro piezas que, al unirlas, parecen formar un triángulo grande. Lo curioso es que si reacomodas esas mismas piezas, ¡parece que falta un pequeño cuadrado!
Ambos "triángulos" tienen las mismas medidas: 13 unidades de base y 5 unidades de altura. Sin embargo, en una de las formas, aparece un espacio vacío del tamaño de un cuadrado.
Según el famoso escritor de ciencia Martin Gardner, este rompecabezas fue creado por un mago de Nueva York llamado Paul Curry en 1953. Pero la idea de estas paradojas, donde las piezas se cortan y reacomodan, ya se conocía desde hace mucho tiempo, incluso desde el siglo XVI.
Las cuatro piezas del rompecabezas pueden formar dos figuras que parecen triángulos. Ambas figuras tienen una base de 13 y una altura de 5. La diferencia es que en una de ellas, parece haber un "agujero" de un cuadrado de un lado.
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Contenido
Las piezas del rompecabezas
Las cuatro piezas que forman este rompecabezas tienen formas y tamaños específicos. Cada una tiene un área (la cantidad de espacio que ocupa) que podemos calcular.
La pieza roja
La pieza roja es un triángulo rectángulo. Esto significa que tiene un ángulo de 90 grados. Su base mide 8 unidades y su altura mide 3 unidades. Para calcular su área, multiplicamos la base por la altura y dividimos entre 2.
Así, el área de la pieza roja es de 12 unidades cuadradas.
La pieza azul
La pieza azul también es un triángulo rectángulo. Su base mide 5 unidades y su altura mide 2 unidades.
El área de la pieza azul es de 5 unidades cuadradas.
La pieza verde
La pieza verde tiene una forma más compleja. Es como un rectángulo de 5 unidades de base por 2 unidades de altura, al que le falta un pedazo de 2 por 1.
El área de la pieza verde es de 8 unidades cuadradas.
La pieza amarilla
La pieza amarilla es similar a la verde. Es un rectángulo de 5 unidades de base por 2 unidades de altura, al que le falta un pedazo de 3 por 1.
El área de la pieza amarilla es de 7 unidades cuadradas.
¿Dónde está la paradoja?
Si sumamos las áreas de las cuatro piezas (roja, azul, verde y amarilla), obtenemos un total de:
El área total de las piezas es de 32 unidades cuadradas.
Pero si calculamos el área de un triángulo grande con una base de 13 y una altura de 5, usando la fórmula del área del triángulo (base por altura dividido entre 2), el resultado es:
El área de un triángulo de esas dimensiones debería ser 32.5 unidades cuadradas.
Aquí es donde surge la paradoja: ¿cómo es posible que las piezas sumen 32, pero el "triángulo" que forman tenga un área de 32.5? ¡Hay una diferencia de 0.5 unidades cuadradas! Y en la segunda disposición, parece que falta un cuadrado de 1 unidad cuadrada.
La explicación: ¡No es un triángulo!
La paradoja tiene una explicación sencilla: la figura que parece un triángulo grande en realidad no lo es. Un triángulo tiene tres lados rectos, pero esta figura tiene cuatro lados. La línea que parece ser la hipotenusa (el lado más largo de un triángulo rectángulo) no es una línea recta perfecta. Está formada por dos segmentos con inclinaciones ligeramente diferentes.
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| La línea superior pasa por puntos que no están perfectamente alineados. | La línea superior también pasa por puntos que no están perfectamente alineados. |
Si comparamos la inclinación de la "hipotenusa" de la pieza roja y la pieza azul, veremos que son distintas. La inclinación de la pieza azul es un poco más pronunciada que la de la pieza roja.
Esto significa que los puntos que forman la línea superior del "triángulo" no están en una línea recta perfecta. Hay una pequeña curvatura o quiebre en esa línea.
El ángulo de inclinación de la pieza azul es de aproximadamente 21.8 grados.
Mientras que el ángulo de inclinación de la pieza roja es de aproximadamente 20.5 grados.
Y el ángulo de inclinación del "triángulo" completo es de aproximadamente 21.0 grados.
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Los puntos (0,0), (5,2), (8,3) y (13,5) no están en una misma línea recta. Aunque la diferencia es muy pequeña, las dos figuras que se forman son en realidad cuadriláteros (figuras de cuatro lados), no triángulos. La pequeña diferencia de área entre las dos figuras es exactamente el cuadrado que parece "desaparecer".
¿Por qué nos engaña la vista?
Esta diferencia en la inclinación es muy pequeña y difícil de ver a simple vista. Por eso, nuestro cerebro nos engaña y nos hace creer que la figura es un triángulo perfecto. La línea superior parece recta, pero en realidad tiene una ligera curva.
El "triángulo" de arriba es un cuadrilátero con una pequeña hendidura (cóncavo), y el "triángulo" de abajo es un cuadrilátero con una pequeña protuberancia (convexo). La diferencia de área entre estas dos figuras es exactamente 1 unidad cuadrada, que es el cuadrado que "falta".
Es una ilusión óptica donde el ojo tiende a pasar por alto la pequeña curvatura porque espera ver una línea recta. En las versiones de papel de este rompecabezas, a menudo se usa una línea de borde más gruesa para ocultar aún más esta curvatura, o los cortes no son lo suficientemente precisos para que notemos la diferencia.
Véase también
En inglés: Missing square puzzle Facts for Kids
