Número primo de Sophie Germain para niños
En teoría de números, un número primo p es un primo de Sophie Germain si al multiplicar p por 2 y sumarle 1, el resultado (2p + 1) también es un número primo. A este segundo número primo (2p + 1) se le llama número primo seguro.
Por ejemplo, el número 11 es un primo de Sophie Germain porque si hacemos la operación 2 × 11 + 1, obtenemos 23, y 23 también es un número primo. Así, 23 es el primo seguro asociado a 11.
Estos números especiales llevan el nombre de la brillante matemática francesa Sophie Germain (1776-1831). Ella los utilizó en sus investigaciones sobre un famoso problema matemático conocido como el último teorema de Fermat.
Los primos de Sophie Germain y los primos seguros son muy útiles en áreas como la criptografía asimétrica (que ayuda a proteger la información secreta) y en las pruebas de primalidad (métodos para saber si un número es primo). Los matemáticos creen que existen infinitos primos de Sophie Germain, pero hasta ahora nadie ha podido demostrarlo.
Contenido
¿Qué son los números primos de Sophie Germain?
Un número primo de Sophie Germain es un tipo especial de número primo. Para que un número p sea un primo de Sophie Germain, debe cumplir una condición: cuando lo multiplicas por dos y le sumas uno (2p + 1), el resultado también debe ser un número primo.
El número que resulta de esta operación (2p + 1) se conoce como un "primo seguro". Es como si fueran una pareja de números primos que están conectados por esta regla matemática.
Ejemplos de números primos de Sophie Germain
Aquí tienes algunos de los primeros primos de Sophie Germain (los que son menores de 1000):
- 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, ...
Y estos son los primos seguros que se obtienen de ellos:
- 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907, ...
En el mundo de la criptografía, se necesitan primos de Sophie Germain mucho más grandes. Algunos de los más grandes se encuentran gracias a proyectos de computación que usan muchos ordenadores conectados.
| Valor | Número de dígitos | Fecha del descubrimiento | Descubridor |
|---|---|---|---|
| 2618163402417 × 21290000 − 1 | 388.342 | febrero de 2016 | Dr. James Scott Brown en una búsqueda distribuida PrimeGrid |
| 18543637900515 × 2666667 − 1 | 200.701 | abril de 2012 | Philipp Bliedung en una búsqueda distribuida PrimeGrid |
| 183027 × 2265440 − 1 | 79.911 | marzo de 2010 | Tom Wu |
| 648621027630345 × 2253824 − 1 y 620366307356565 × 2253824 − 1 | 76.424 | noviembre de 2009 | Zoltán Járai, Gábor Farkas, Tímea Csajbók, János Kasza and Antal Járai |
| 1068669447 × 2211088 − 1 | 63.553 | mayo de 2020 | Michael Kwok |
| 99064503957 × 2200008 − 1 | 60.220 | abril de 2016 | S. Urushihata |
| 607095 × 2176311 − 1 | 53.081 | septiembre de 2009 | Tom Wu |
| 48047305725 × 2172403 − 1 | 51.910 | enero de 2007 | David Underbakke |
| 137211941292195 × 2171960 − 1 | 51.780 | mayo de 2006 | Járai et al. |
¿Para qué se usan? Aplicaciones importantes
Los primos de Sophie Germain y los primos seguros tienen usos prácticos en el mundo real, especialmente en la tecnología.
En la seguridad de la información (Criptografía)
Los primos seguros son muy importantes en la criptografía, que es la ciencia de proteger la información. Se usan en técnicas que dependen de los logaritmos discretos, como el intercambio de claves de Diffie-Hellman. Este método permite que dos personas compartan una clave secreta de forma segura a través de un canal público.
Usar primos seguros ayuda a que los sistemas de seguridad sean más robustos y difíciles de "romper" para personas no autorizadas. Aunque la tecnología avanza, estos números siguen siendo una base importante para la seguridad digital.
Para verificar si un número es primo (Pruebas de primalidad)
Las pruebas de primalidad son algoritmos que nos dicen si un número es primo o no. En el pasado, una conjetura sobre los primos de Sophie Germain se usó para hacer más rápidas algunas de estas pruebas, como el Test de primalidad AKS. Aunque las versiones más nuevas de estas pruebas ya no necesitan esta conjetura, demuestra la importancia de estos números en el desarrollo de la matemática computacional.
Para generar números al azar
Los primos seguros también se pueden usar para crear números pseudoaleatorios. Estos números no son realmente aleatorios, pero se comportan como si lo fueran y son útiles en simulaciones o en el método de Montecarlo. Por ejemplo, si un primo seguro q cumple ciertas condiciones, la expansión decimal de 1/q puede generar una secuencia de dígitos que parecen aleatorios.
¿Hay infinitos números primos de Sophie Germain?
Esta es una de las grandes preguntas sin respuesta en las matemáticas. Los matemáticos creen firmemente que sí, que hay infinitos primos de Sophie Germain, pero hasta ahora nadie ha podido demostrarlo con una prueba matemática.
Esta pregunta es parte de un grupo de conjeturas (ideas que se creen ciertas pero no están probadas) en la teoría de números, como la conjetura de los primos gemelos (que dice que hay infinitos pares de primos que solo se diferencian en 2, como 3 y 5, o 11 y 13).
¿Quién fue Sophie Germain?
Marie-Sophie Germain (1776-1831) fue una matemática, física y filósofa francesa. A pesar de los obstáculos de su época para que las mujeres estudiaran ciencias, Sophie se dedicó al estudio de las matemáticas de forma autodidacta.
Se hizo pasar por un hombre para poder estudiar en la École Polytechnique de París y comunicarse con grandes matemáticos como Joseph-Louis Lagrange y Carl Friedrich Gauss. Sus contribuciones fueron muy importantes, especialmente en la teoría de números y en la teoría de la elasticidad. Los primos de Sophie Germain son un reconocimiento a su legado y a su trabajo pionero.
En la cultura popular
Los primos de Sophie Germain se mencionan en la famosa obra de teatro La Prueba y en la película que se hizo basada en ella. Esto muestra cómo las matemáticas, incluso las más complejas, pueden aparecer en el arte y la cultura.
Véase también
En inglés: Sophie Germain prime Facts for Kids
