Cuerpo de números algebraicos para niños
Un cuerpo de números algebraicos es un tipo especial de conjunto de números que los matemáticos estudian. Imagina que es como una "familia" de números que incluye a los números racionales (que son todas las fracciones, como 1/2 o 3/4). Esta familia tiene reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir, y se comporta de manera similar a cómo operamos con los números que ya conoces.
El estudio de estos cuerpos de números es una parte importante de una rama de las matemáticas llamada teoría de números algebraicos.
Contenido
¿Qué es un Cuerpo de Números Algebraicos?
Para entender qué es un cuerpo de números algebraicos, primero necesitamos conocer dos ideas importantes en matemáticas: los "cuerpos" y los "espacios vectoriales".
¿Qué es un Cuerpo en Matemáticas?
Un cuerpo en matemáticas es un conjunto de elementos (números, por ejemplo) donde puedes realizar las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división (excepto dividir por cero). Cuando haces estas operaciones, el resultado siempre es otro elemento que pertenece a ese mismo conjunto.
Un ejemplo muy conocido de cuerpo es el de los números racionales, que se representa con la letra Q. Este conjunto incluye todos los números que se pueden escribir como una fracción (un número entero dividido por otro número entero que no sea cero).
¿Qué es un Espacio Vectorial?
Un espacio vectorial es como un conjunto de "listas" de números, por ejemplo: (x1, x2, x3). Estas listas se pueden sumar entre sí (sumando cada parte correspondiente) y también se pueden multiplicar por un número de un cuerpo fijo (como los números racionales).
Si estas listas tienen una longitud finita (por ejemplo, siempre tienen 3 números), decimos que el espacio vectorial tiene una dimensión finita.
Definición de Cuerpo de Números Algebraicos
Un cuerpo de números algebraicos es un cuerpo que contiene a los números racionales (Q) y que, cuando lo vemos como un espacio vectorial sobre Q, tiene una dimensión finita. A esta dimensión se le llama simplemente el grado del cuerpo.
Ejemplos de Cuerpos de Números Algebraicos
- El cuerpo de números más sencillo es el de los propios números racionales (Q).
- Los números racionales de Gauss, que se escriben como Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \mathbb{Q}(i) , son un ejemplo interesante. Sus elementos son números de la forma
, donde 
y 
son números racionales, e 
es la unidad imaginaria (un número especial que, al multiplicarse por sí mismo, da -1, es decir, 
). Puedes sumar, restar y multiplicar estos números. Por ejemplo:
* Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i * Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (a + bi) \cdot (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i Estos números forman un cuerpo de números algebraicos que tiene una dimensión de 2 sobre los números racionales.
- De forma más general, para cualquier número entero
, el cuerpo cuadrático Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \mathbb{Q}(\sqrt{d}) es un cuerpo de números algebraicos. Se obtiene al añadir la raíz cuadrada de al cuerpo de los números racionales. - El cuerpo ciclotómico Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \mathbb{Q}(\zeta_n) es otro ejemplo. Se forma añadiendo una raíz especial de la unidad (un número que, elevado a la potencia
, da 1) a los números racionales.
No son Cuerpos de Números Algebraicos:
- Los números reales (R) y los números complejos (C) no son cuerpos de números algebraicos porque tienen una "dimensión infinita" cuando se ven como espacios vectoriales sobre los números racionales.
- El conjunto de pares ordenados de números racionales, como Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \mathbb{Q}^2 (por ejemplo, (1, 0)), no es un cuerpo porque tiene "divisores de cero". Esto significa que puedes multiplicar dos elementos que no son cero y obtener cero, como en Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (1, 0) \cdot (0, 1) = (0,0) . En un cuerpo, esto no puede pasar.
Números Algebraicos y Enteros Algebraicos
En el álgebra, una extensión de un cuerpo es "algebraica" si cada elemento del cuerpo más grande es la solución de una ecuación polinómica con coeficientes del cuerpo más pequeño. Como los cuerpos de números algebraicos tienen un "grado finito", todos sus elementos son soluciones de polinomios con coeficientes racionales. Por eso, a los elementos de un cuerpo de números algebraicos se les llama números algebraicos.
Si un número algebraico es la solución de un polinomio donde el coeficiente del término de mayor grado es 1 y todos los demás coeficientes son números enteros (no fracciones), entonces a ese número se le llama entero algebraico.
Por ejemplo, cualquier número entero normal (como 5 o -3) es un entero algebraico, porque es la solución de un polinomio simple como Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): t - 5 = 0 .
Los matemáticos han demostrado que si sumas o multiplicas dos enteros algebraicos, el resultado siempre es otro entero algebraico. Esto significa que los enteros algebraicos dentro de un cuerpo de números algebraicos forman un conjunto especial llamado anillo, que se denota como Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \mathcal{O}_K . Este anillo se llama el anillo de los enteros de 
.
Factorización Única
En los números enteros que conocemos (Z), cada número se puede descomponer de forma única en un producto de números primos (por ejemplo, 6 = 2 * 3). Esto se llama "factorización única".
Sin embargo, en los anillos de enteros de algunos cuerpos de números algebraicos, esta propiedad de factorización única de números individuales puede no cumplirse. Por ejemplo, en el anillo Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \mathbf{Z}[\sqrt{-5}] (que incluye números de la forma Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): a + b\sqrt{-5} donde y son enteros), el número 6 se puede factorizar de dos maneras diferentes:
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): 6 = 2 \cdot 3
- Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): 6 = (1 + \sqrt{-5}) \cdot (1 - \sqrt{-5})
Estas dos factorizaciones son realmente diferentes, lo que significa que la factorización única de números no siempre se mantiene en estos anillos.
Los matemáticos usan un concepto llamado "número de clase" para medir qué tan lejos está un anillo de enteros de tener factorización única. Si el número de clase es 1, entonces sí hay factorización única.
Bases para Cuerpos Numéricos
Base Integral
Una base integral para un cuerpo de números algebraicos es un conjunto de números especiales dentro de que actúan como "bloques de construcción". Si tienes una base integral, cualquier número entero algebraico en se puede escribir de una única manera como una combinación de estos bloques de construcción, usando solo números enteros normales.
Los sistemas de álgebra computacional modernos tienen programas que pueden calcular estas bases.
Base de Potencia
Una base de potencia es un tipo especial de base que se forma con las potencias de un solo elemento, por ejemplo: Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \{1, x, x^2, \ldots, x^{n-1}\} . Siempre existe un elemento 
que puede generar una base de potencia para el cuerpo. Si este elemento puede elegirse de tal manera que su base de potencia también sea una base integral, entonces el cuerpo se llama campo monogénico.
Véase también
En inglés: Algebraic number field Facts for Kids
