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Cuantificador para niños

Enciclopedia para niños

En lógica formal, un cuantificador es una expresión que indica la cantidad de veces que un predicado o propiedad P se satisface dentro de una determinada clase (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden). Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:

\forall \, x, y \ldots
Para todo x, y...
  • Cuantificador existencial
\exists \, x, y \ldots
Existe al menos un x, y...
  • Cuantificador existencial único
\exists ! \, x, y \ldots
Existe exactamente un x, y...
  • Negación del cuantificador existencial
\nexists \, x, y \ldots
No existe ningún x, y...

Historia

El matemático lógico y filósofo alemán Frege publicó en el año 1879 su libro Begriffsschrift, en el cual colocó las bases de la lógica matemática moderna, desarrollando la primera teoría coherente sobre la cuantificación y presentó una nueva sintaxis llamada cuantificadores (\forall y \exist) que permite cuantificar nuevos argumentos. La obra se encuentra dividida en varios capítulos:

  • Primer capítulo: está formado por las ideas básicas y notaciones, donde aparecen los cuantificadores universales, la negación y la condicional.
  • Segundo capítulo: declaración de axiomas.

Declaraciones cuantificadas

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma:

  • \forall \, x \in \mathbb{R} \; , \quad 2x \in \mathbb{R}

Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x pertenece a R.

  • \forall \, a \in \mathbb{R} , \quad \exists \, x \in \mathbb{R} \; : \quad a < x < (a + 1)

Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que está comprendido entre a y a+1.

  • \forall \, a \in \mathbb{R}-\left\{{0}\right\} , \quad \exists ! \, x \in \mathbb{R} \; : \quad a \cdot x=1

Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1.

Proposiciones

Cuantificación universal

El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:

\forall x \in A \; : \quad P(x)
Para todo x perteneciente a A, se cumple P(x).

Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:

A = \{x \in U \; : \quad P(x)\}
Se define el conjunto A, como el de los elementos x de U, que cumplen P(x).

Cuantificación existencial

El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto ~A (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Como escribe:

\exists \, x \in A \; : \quad P(x)
Existe x en A que cumple P(x).

Esta proposición suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente:

\{ x \in A \; : \quad P(x) \} \neq \emptyset
El conjunto de los elementos x de A, que cumplen P(x) es distinto del conjunto vacío.

Cuantificación existencial única

El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

\exists ! \, x \in A \; : \quad P(x)

Se lee:

Existe un único elemento x de A, que cumple P(x).

Equivalencias

Se tienen las siguientes relaciones universales:

\forall x \in A \; : \quad P(x) \qquad \longleftrightarrow \qquad \neg \exists x \in A \; : \quad \neg P(x)
Para todo x de A, se cumple P(x) si y sólo si no existe x en A que no cumpla P(x).
\exists x \in A \; : \quad P(x) \qquad \longleftrightarrow \qquad \neg \forall x\in A \; : \quad \neg P(x)
Existe al menos un x en A que cumple P(x) si y sólo si no es cierto que para todo x de A, no se cumpla P(x).

En cuanto al cuantificador existencial único puede considerarse una extensión por definición en un lenguaje formal con igualdad teniendo dada la equivalencia:

\exists ! x \in A \; : \quad P(x) \qquad \longleftrightarrow \qquad \forall x, y \in A \; : \quad P(x) \; \land \; P(y) \rightarrow x = y
Existe un único x en A que cumple P(x), si y sólo si para todo x, y de A, si se cumple que P(x) y P(y), entonces x es igual a y.

Leyes de De Morgan

Las leyes de De Morgan para cuantificadores son las siguientes:

  • \neg \forall x P(x)\equiv \exists x \neg P(x)
La negación es falsa si para todo x el predicado es verdadero. Por el contrario, es verdadera si existe un x para el que P(x) es falsa.
  • \neg \exists x P(x)\equiv \forall x \neg P(x)
La negación es verdadera si para todo x la función proposicional P de x es falsa y es falsa si existe un x para el que P(x) es verdadera.

Prelación de los cuantificadores

El orden de prioridad (prelación) de los cuantificadores \forall y \exist tienen un mayor grado de preferencia que los demás operadores lógicos.

Ejemplos:

Cuando ponemos \forall x P(x) \land M(x) el orden de prioridad nos obliga a realizar primero el cuantificador (\forall x P(x)) \land M(x). Este ejemplo se puede ver para los distintos cuantificadores.

En caso de que se quiera priorizar el operador lógico (\land) se tendrá que poner paréntesis para forzar la prioridad a esa operación \forall x (P(x) \land M(x)).

Un error muy común es considerar que \forall x P(x) \land M(x) es lo mismo que \forall x (P(x) \land M(x)) cosa que no es así, ya que no se respeta el orden de prioridad, por lo que lo correcto sería (\forall x P(x)) \land M(x).

Reglas de intercambio

  • Primera regla:
Un cuantificador universal (\forall) afirmativo se asemeja a la negación de un cuantificador existencial ( \neg\exist) y del predicado.
(\forall xP(x))\leftrightarrow (\neg \exists x\neg P(x))
Para todos los x , P es cierta, esto equivale a que es falso que alguna x no sea P.
  • Segunda regla:
Un cuantificador existencial ( \exist) afirmativo se asemeja a la negación cuantificador universal (\neg\forall) y del predicado.
( \exists x P(x))\leftrightarrow (\neg \forall x\neg P(x))
Existe alguna x en la que P es cierta, esto es equivalente a decir que ninguna x no es P.
  • Tercera regla:
La negación de un cuantificador universal (\neg\forall) se asemeja a un cuantificador existencial ( \exist) con el predicado negado.
(\neg\forall x P(x))\leftrightarrow (\exist x \neg P(x))
Es falso que todas las x son P, esto equivalente a que algunas x no son P.
  • Cuarta regla:
La negación de un cuantificador existencial (\neg\exist) se asemeja a un cuantificador universal ( \forall) con el predicado negado.
(\neg \exist x P(x)) \leftrightarrow (\forall x \neg P(x))
Es falso que algunas x sean P, equivale a todas las x no son P.

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Quantifier (logic) Facts for Kids

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