Cuantificador universal para niños
En lógica, usamos un símbolo especial llamado cuantificador universal, que se ve así: 
. Este símbolo se coloca antes de una variable (como una letra que representa algo) para indicar que una afirmación es verdadera "para todos" los elementos de un grupo o conjunto específico.
Por ejemplo, si ves 
, significa "para todo elemento 'x' que está en el conjunto 'B'".
Contenido
¿Qué es el Cuantificador Universal?
El cuantificador universal nos ayuda a expresar ideas de forma precisa en matemáticas y lógica. Imagina que tienes un grupo de cosas, como una canasta de frutas. Si dices "Todas las frutas de esta canasta son manzanas", estás usando una idea universal. El símbolo nos permite escribir esa idea de manera corta y clara.
¿Cómo se usa el Cuantificador Universal?
El símbolo siempre va seguido de una variable (como 'x' o 'y') y luego se especifica el grupo al que se refiere esa variable. Después, se escribe la afirmación que es verdadera para todos los elementos de ese grupo.
Ejemplos Sencillos del Cuantificador Universal
- Si decimos Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \forall x \in \text{animales}, \text{x tiene vida} , significa "Para todos los 'x' que son animales, 'x' tiene vida". Esto es una afirmación verdadera.
- Si decimos Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \forall y \in \text{números pares}, \text{y es divisible por 2} , significa "Para todos los 'y' que son números pares, 'y' es divisible por 2". Esto también es verdadero.
Cuantificador Universal en Conjuntos
Imagina que tenemos dos grupos de cosas, llamados conjuntos. Vamos a llamarlos A y B.
Si el conjunto A está completamente dentro del conjunto B, pero no son exactamente iguales (A es un subconjunto de B, pero B tiene más cosas que A), lo escribimos así:
Esto significa: A es un subconjunto de B, y A no es igual a B, y A no está vacío.
En este caso, podemos decir que cada elemento 'x' que está en el conjunto A también está en el conjunto B. Usando el cuantificador universal, se ve así:
Esto se lee: "Para todo 'x' que pertenece a A, entonces 'x' también pertenece a B".
Como los conjuntos A y B son diferentes (como se ve en el dibujo), no todos los elementos 'y' que están en B pertenecen a A. Esto lo escribimos así:
Esto significa: "No es cierto que para todo 'y' que pertenece a B, 'y' también pertenezca a A". En otras palabras, hay al menos un elemento en B que no está en A.
Relación con el Cuantificador Existencial
El cuantificador universal (, "para todo") tiene una relación interesante con otro símbolo llamado cuantificador existencial (Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \exists , "existe al menos uno").
Una afirmación que usa el cuantificador universal se puede transformar en una afirmación equivalente usando el cuantificador existencial. La regla es la siguiente:
Esto se lee: "Si para todo 'x' se cumple una condición 'P(x)', esto es lo mismo que decir que no existe ningún 'x' para el cual la condición 'P(x)' no se cumpla".
Volviendo a nuestro ejemplo de los conjuntos:
Esto significa: "Para todo 'x' que pertenece a A, se cumple que 'x' pertenece a B".
Podemos expresar lo mismo usando el cuantificador existencial de esta manera:
Esto se lee: "No existe ningún 'x' que pertenezca a A y que no esté en B". Ambas frases significan lo mismo: todos los elementos de A están en B.
Galería de imágenes
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Un conjunto A (círculo azul) dentro de un conjunto B (círculo rojo).
Véase también
En inglés: Universal quantification Facts for Kids
- cuantificador existencial
- lógica de primer orden
