Aproximación diofántica para niños
Las aproximaciones diofánticas son un área de las matemáticas que estudia cómo podemos acercarnos mucho a los números reales (como pi o la raíz cuadrada de 2) usando números racionales (que son fracciones, como 1/2 o 3/4). Llevan el nombre de un antiguo matemático griego llamado Diofanto.
Imagina que quieres encontrar una fracción que sea muy, muy parecida a un número real. Por ejemplo, ¿qué fracción se parece más a pi (aproximadamente 3.14159)? Podrías decir 3.14, que es 314/100. Pero, ¿es esa la "mejor" aproximación?
La calidad de una aproximación no solo se mide por lo cerca que está la fracción del número real. También importa el tamaño del número de abajo de la fracción (el denominador). Una aproximación es mejor si está muy cerca del número real y, además, usa un denominador pequeño. Esto es porque podemos encontrar fracciones que estén tan cerca como queramos de cualquier número real, pero a menudo necesitan denominadores muy grandes.
Contenido
¿Qué son las Aproximaciones Diofánticas?
Las aproximaciones diofánticas se centran en encontrar fracciones que se acerquen lo más posible a un número real, pero de una manera "eficiente". Esto significa que buscamos fracciones con denominadores pequeños que aún así estén muy cerca del número real.
Acercándonos a Números Especiales: Números Algebraicos
Algunos números reales son "algebraicos". Esto significa que son la solución de una ecuación sencilla donde solo hay números enteros y potencias (como x² - 2 = 0, cuya solución es la raíz cuadrada de 2).
Matemáticos como Fermat y Euler estudiaron cómo usar las fracciones continuas para aproximar estos números. Las fracciones continuas son una forma especial de escribir números como una serie de fracciones anidadas.
El Trabajo de Joseph Liouville
En 1840, Joseph Liouville hizo un descubrimiento importante. Demostró que si un número algebraico irracional (que no se puede escribir como fracción simple) tiene un cierto "grado" (relacionado con la ecuación que lo define), entonces no puede ser aproximado "demasiado bien" por fracciones con denominadores pequeños.
Gracias a este descubrimiento, Liouville pudo demostrar la existencia de los primeros "números trascendentales". Estos son números reales que no son algebraicos; es decir, no son la solución de ninguna ecuación sencilla con números enteros. Un ejemplo famoso es el propio número de Liouville.
Mejoras al Teorema de Liouville: El Teorema de Roth
Con el tiempo, otros matemáticos como Axel Thue, Carl Ludwig Siegel y Klaus Roth mejoraron el resultado de Liouville. El teorema de Roth es una versión más potente que dice que los números algebraicos irracionales no pueden ser aproximados "demasiado bien" por fracciones. Este teorema es muy importante en la teoría de números.
Más tarde, Wolfgang M. Schmidt extendió estas ideas para cuando intentamos aproximar varios números al mismo tiempo.
Las Mejores Aproximaciones a Números Reales
Cuando hablamos de las "mejores aproximaciones diofánticas" de un número real, nos referimos a fracciones que cumplen una de estas dos condiciones:
- La fracción está más cerca del número real que cualquier otra fracción con un denominador igual o más pequeño.
- La distancia entre el número real multiplicado por el denominador y un número entero es menor que para cualquier otra fracción con un denominador igual o más pequeño.
Las fracciones continuas son una herramienta muy útil para encontrar estas "mejores aproximaciones". Por ejemplo, el número e (aproximadamente 2.71828) tiene una representación en fracción continua que nos da sus mejores aproximaciones.
Midiendo la Precisión de las Aproximaciones
La forma más sencilla de medir qué tan buena es una aproximación es ver la diferencia entre el número real y la fracción. Sin embargo, esta diferencia siempre puede hacerse muy pequeña si usamos denominadores muy grandes.
Por eso, la precisión se mide comparando esta diferencia con una función del denominador. Buscamos límites:
- Límites inferiores: Nos dicen que, para ciertos números, la diferencia entre el número real y cualquier fracción (con un denominador dado) no puede ser menor que un cierto valor. Esto significa que no podemos aproximarlos "demasiado bien".
- Límites superiores: Nos dicen que, para ciertos números, siempre hay infinitas fracciones que los aproximan con una precisión mejor que un cierto valor.
Números Mal Aproximados
Un número mal aproximado es un número real que no puede ser aproximado "demasiado bien" por fracciones. Esto significa que siempre hay una distancia mínima entre el número y cualquier fracción, incluso si el denominador es grande. Los números mal aproximados son aquellos cuyas fracciones continuas tienen "cocientes parciales acotados" (los números en la parte de abajo de la fracción continua no crecen demasiado).
Problemas Abiertos en Aproximaciones Diofánticas
A pesar de todos los avances, todavía hay preguntas sin respuesta en las aproximaciones diofánticas. Un ejemplo es la conjetura de Littlewood, un problema que parece sencillo de entender pero que aún no ha sido resuelto por los matemáticos.
Avances Recientes
En los últimos años, se han logrado grandes avances en las aproximaciones diofánticas usando una rama de las matemáticas llamada teoría ergódica. Matemáticos como Grigory Margulis y sus colaboradores han utilizado esta teoría para resolver problemas que antes parecían imposibles. Esto ha demostrado el poder de combinar diferentes áreas de las matemáticas para resolver desafíos complejos.
Véase también
En inglés: Diophantine approximation Facts for Kids
