Teselado pentagonal para niños

En geometría, un teselado pentagonal es una forma de cubrir una superficie plana, como un suelo o una pared, usando piezas que tienen la forma de un pentágono. Un pentágono es una figura geométrica con cinco lados y cinco ángulos.

Imaginen que quieren cubrir una superficie con baldosas. Si las baldosas son pentágonos regulares (todos sus lados y ángulos son iguales), ¡no podrán cubrir la superficie sin dejar huecos! Esto se debe a que el ángulo de un pentágono regular (108°) no encaja perfectamente para sumar 360° alrededor de un punto.

Sin embargo, los matemáticos descubrieron que hay tipos especiales de pentágonos que sí pueden cubrir una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse. A estos se les llama teselados pentagonales monoedrales convexos. "Monoedral" significa que todas las piezas son del mismo tipo, y "convexo" significa que no tienen "curvas hacia adentro" o "dientes".

Desde principios del siglo XX, los matemáticos han estado investigando estos teselados. Fue un desafío que atrajo tanto a expertos como a aficionados, como la sorprendente historia de Marjorie Rice. A lo largo de más de cien años, se han encontrado quince tipos diferentes de teselados pentagonales monoedrales convexos. A finales de 2017, un matemático francés llamado Michaël Rao presentó una prueba que sugiere que no hay más tipos, y su trabajo está siendo revisado por otros expertos.

¿Qué son los Teselados Pentagonal Monoedrales Convexos?

Un ejemplo de tesela pentagonal con ángulos marcados como A,B,C,D, y E, y longitudes de lado marcados como a,b,c,d, y e

Como mencionamos, estos son teselados donde todas las piezas son pentágonos del mismo tipo y no tienen "dientes" hacia adentro. Se conocen quince tipos de estos pentágonos que pueden cubrir el plano. El último tipo fue descubierto en 2015.

Michaël Rao, un matemático de la Escuela Normal Superior de Lyon, anunció el 1 de mayo de 2017 que había encontrado la prueba de que solo existen estos 15 tipos. Su trabajo está siendo revisado por otros matemáticos para confirmar que es correcto.

Cada uno de estos 15 tipos tiene sus propias reglas sobre cómo deben ser los ángulos y los lados del pentágono para que pueda teselar. Algunos pentágonos pueden pertenecer a varios tipos a la vez, y algunos pueden formar patrones diferentes a los más comunes de su tipo.

Para entender mejor, los lados de un pentágono se nombran con letras minúsculas (a, b, c, d, e) y los ángulos con letras mayúsculas (A, B, C, D, E). Cada lado está junto a un vértice (esquina) y se nombran en el sentido de las agujas del reloj.

Los 15 Tipos de Teselas Pentagonal Monoedrales

Aquí se muestran los 15 tipos descubiertos hasta ahora. Cada imagen muestra cómo es el pentágono y algunas de las condiciones que deben cumplir sus ángulos o lados.

Los 15 tipos de teselas pentagonales monoedrales

1	2	3	4	5
B+C=180° A+D+E=360°	c=e B+D=180°	a = b, d = c + e A = C = D = 120°	b = c, d = e B = D = 90°	a = b, d = e A = 60°, D = 120°
6	7	8	9	10
a = d = e, b = c B + D = 180°, 2B = E	b = c = d = e B + 2E = 2C + D = 360°	b = c = d = e 2B + C = D + 2E = 360°	b = c = d = e 2A + C = D + 2E = 360°	a = b = c + e A = 90°, B + E = 180°, B + 2C = 360°
11	12	13	14	15
2a + c = d = e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180°	2a = d = c + e A = 90°, 2B + C = 360° C + E = 180°	d = 2a = 2e B = E = 90°, 2A + D = 360°	2a = 2c = d = e A = 90°, B ≈ 145.34°, C ≈ 69.32°, D ≈ 124.66°, E ≈ 110.68° (2B + C = 360°, C + E = 180°).	a = c = e, b = 2a A = 150°, B = 60°, C = 135°, D = 105°, E = 90°

Muchos de estos tipos de teselas pueden variar un poco en sus ángulos y longitudes de lados, lo que les da "grados de libertad".

Descubrimientos a lo largo del tiempo

La historia de estos descubrimientos es fascinante:

• Reinhardt (1918): Karl Reinhardt encontró los primeros cinco tipos (1, 2, 3, 4 y 5). Estos pueden crear teselados "isoedrales", lo que significa que el patrón se ve igual desde cualquier pieza.
• Kershner (1968): Richard Kershner descubrió tres tipos más (6, 7 y 8), elevando el total a ocho. Al principio, pensó que la lista estaba completa, pero se equivocó.
• James (1975): Richard E. James III encontró un noveno tipo (el tipo 10) después de leer sobre el tema en una revista.
• Rice (1977): Marjorie Rice, una ama de casa aficionada a las matemáticas, descubrió cuatro tipos nuevos (9, 11, 12 y 13) en 1976 y 1977. ¡Fue un logro increíble para alguien que no era matemática profesional!
• Stein (1985): Rolf Stein encontró el tipo 14 en 1985. Este tipo tiene formas muy específicas, sin mucha libertad para variar sus ángulos o lados.
• Mann/McLoud/Von Derau (2015): En 2015, los matemáticos Casey Mann, Jennifer McLoud y David Von Derau de la Universidad Bothell de Washington descubrieron el tipo 15 usando un programa de computadora. Este fue el último tipo encontrado hasta ahora.

¿Qué es una Celda Unidad?

En un teselado, una celda unidad es la parte más pequeña del patrón que, si la repites una y otra vez (solo moviéndola, sin girarla), puede formar todo el teselado. Es como el "bloque de construcción" básico del patrón.

Grados de Libertad y Clases de Reinhardt

Los "grados de libertad" se refieren a cuánta variación pueden tener los ángulos y lados de un pentágono sin dejar de ser parte de un tipo de teselado. Algunos tipos tienen mucha libertad, otros ninguna.

Reinhardt también clasificó los pentágonos según las relaciones entre las longitudes de sus cinco lados:

• R-I: Los cinco lados son diferentes.
• R-II: Dos lados son iguales, los otros tres son diferentes entre sí y de los dos primeros.
• R-III₁: Tres lados son iguales, los otros dos son diferentes entre sí y de los tres primeros.
• R-III₂: Hay dos pares de lados iguales, pero los pares son diferentes entre sí; el último lado es diferente de todos.
• R-IV₁: Cuatro lados son iguales, el último es diferente.
• R-IV₂: Tres lados son iguales, y los otros dos son iguales entre sí.
• R-V: Los cinco lados son iguales entre sí.

Teselados Pentagonal/Hexagonal

Subdivisiones pentagonales de un hexágono

Los pentágonos tienen una relación interesante con los hexágonos (figuras de seis lados). Algunos hexágonos pueden dividirse en pentágonos. Por ejemplo, si cortas un hexágono regular por la mitad, obtienes dos pentágonos del tipo 1. También se pueden dividir hexágonos en tres, cuatro o nueve pentágonos.

Esto significa que un plano puede ser cubierto por un solo tipo de pentágono que, al unirse, forman patrones que parecen hechos de hexágonos.

Teselado con pentágonos (tipo 1) que forman hexágonos (cada uno con 2 pentágonos).

Teselado con pentágonos (tipo 3) que forman hexágonos (cada uno con 3 pentágonos).

Teselado con pentágonos (tipo 4) que forman hexágonos (cada uno con 4 pentágonos).

Teselado con pentágonos (tipo 3) que forman hexágonos de dos tamaños (con 3 y 9 pentágonos).

Pentágonos No Convexos

Teselado periódico de la esfinge

Si permitimos que los pentágonos tengan "dientes" o curvas hacia adentro (es decir, que no sean convexos), aparecen aún más tipos de teselados. Un ejemplo famoso es el teselado de la esfinge, que es un patrón que no se repite de forma regular.

También es posible dividir otras figuras, como triángulos o cuadrados, en pentágonos no convexos que luego pueden usarse para teselar el plano.

Teselados Pentagonal Regulares en Geometría No Euclidiana

Aunque los pentágonos regulares no pueden teselar un plano plano, sí pueden hacerlo en superficies curvas o en otros tipos de geometría.

• En una esfera: Un dodecaedro es como un balón de fútbol hecho de 12 pentágonos regulares. Es un ejemplo de cómo los pentágonos pueden teselar la superficie de una esfera.
• En el plano hiperbólico: En un tipo de geometría diferente llamada "plano hiperbólico", los pentágonos regulares también pueden formar teselados. En esta geometría, los ángulos se comportan de manera diferente, permitiendo que los pentágonos encajen.

Esfera	Plano hiperbólico
{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	...{5,∞}

Galería de imágenes

• 

  Los 15 tipos de teselados pentagonales monoedrales convexos del plano

• 

  El 15º tipo de tesela monoedral pentagonal convexa, descubierto en 2015

Véase también

En inglés: Pentagonal tiling Facts for Kids