Función de densidad de probabilidad para Niños

Diagrama de Caja y función de densidad de probabilidad de una distribución normal N(0, σ²).

En la teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad, o simplemente densidad de una variable aleatoria continua describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable aleatoria tomará determinado valor.
La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en una región específica del espacio de posibilidades estará dada por la integral de la densidad de esta variable entre uno y otro límite de dicha región.
La función de densidad de probabilidad (FDP) es positiva a lo largo de todo su dominio y su integral sobre todo el espacio es de valor unitario.

Contenido

Ejemplo
Definición
- Definición formal
Propiedades
Densidades asociadas con múltiples variables
- Densidad marginal
Suma de variables aleatorias independientes
Véase también

Ejemplo

Supongamos que las bacterias de una determinada especie viven normalmente de 4 a 6 horas. La probabilidad de que una bacteria viva exactamente 5 horas es igual a cero. Muchas bacterias viven aproximadamente 5 horas, pero no hay ninguna probabilidad de que una determinada bacteria muera exactamente a las 5,00... horas. Sin embargo, la probabilidad de que la bacteria muera entre 5 horas y 5,01 horas es cuantificable. Supongamos que la respuesta es 0,02 (es decir, el 2 %). Entonces, la probabilidad de que la bacteria muera entre las 5 horas y las 5,001 horas debe ser de aproximadamente 0,002, ya que este intervalo de tiempo es una décima parte del anterior. La probabilidad de que la bacteria muera entre 5 horas y 5,0001 horas debería ser de aproximadamente 0,0002, y así sucesivamente.

En este ejemplo, la relación (probabilidad de morir durante un intervalo) / (duración del intervalo) es aproximadamente constante, e igual a 2 por hora (o 2 hora^-1). Por ejemplo, hay una probabilidad de 0,02 de morir en el intervalo de 0,01 horas entre 5 y 5,01 horas, y (probabilidad de 0,02 / 0,01 horas) = 2 hora^-1. Esta cantidad 2 hora^-1 se denomina densidad de probabilidad de morir en torno a las 5 horas. Por tanto, la probabilidad de que la bacteria muera a las 5 horas puede escribirse como (2 hora^-¹) dt. Esta es la probabilidad de que la bacteria muera dentro de una ventana de tiempo infinitesimal en torno a las 5 horas, donde dt es la duración de esta ventana. Por ejemplo, la probabilidad de que viva más de 5 horas, pero menos de (5 horas + 1 nanosegundo), es (2 horas-1) × (1 nanosegundo) ≈ 6 × 10 - 13 (utilizando la conversión de unidades 3,6 × 1012 nanosegundos = 1 hora).

Existe una función de densidad de probabilidad f con f(5 horas) = 2 horas^-1. La integral de f sobre cualquier ventana de tiempo (no sólo ventanas infinitesimales sino también ventanas grandes) es la probabilidad de que la bacteria muera en esa ventana.

Función de densidad de probabilidad para la distribución normal.

Definición

Una función de densidad de probabilidad caracteriza el comportamiento probable de una población en tanto especifica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua $X$ tome un valor cercano a $x$ .

Una variable aleatoria $X$ tiene función de densidad $f_X$ , siendo $f_X$ una función no-negativa integrable de Lebesgue, si:

\operatorname{P}[a\leq X\leq b]=\int_a^bf_X(x)\,dx

si $F_X$ es la función de distribución de $X$ , entonces

F_X(x)=\int_{-\infty}^x f_X(u)\,du

y (si $f_X$ es continua en $x$ )

f_X(x)=\frac{d}{dx}F_X(x)

Intuitivamente, puede considerarse $f_X(x)dx$ como la probabilidad de $X$ de caer en el intervalo infinitesimal $[x,x+dx]$ .

Definición formal

La definición formal de la función de densidad requiere de conceptos de la teoría de la medida.

Una variable aleatoria continua $X$ con valores en un espacio medible $(\mathcal{X}, \mathcal{A})$ (habitualmente $\mathbb{R}^n$ con los conjuntos Borel como subconjuntos medibles), tiene como distribución de probabilidad la medida X_∗P en $(\mathcal{X}, \mathcal{A})$ : la densidad de $X$ con respecto a la medida de referencia $\mu$ sobre $(\mathcal{X}, \mathcal{A})$ es la derivada de Radon–Nikodym.

f = \frac{dX_*P}{d\mu}.

esto es, $f$ es una función medible con la siguiente propiedad:

\operatorname{P}[X\in A]=\int_{X^{-1}A} \,dP=\int_Af \,d\mu

para todo conjunto medible $A \in \mathcal{A}$ .

Propiedades

De las propiedades de la función de densidad se siguen las siguientes propiedades de la fdp (a veces visto como pdf del inglés):

$f_X(x)\geq 0$ para toda $x$ .
El área total encerrada bajo la curva es igual a 1:

\int_{-\infty}^\infty f_X(x)\,dx=1

La probabilidad de que $X$ tome un valor en el intervalo $[a,b]$ es el área bajo la curva de la función de densidad en ese intervalo o lo que es lo mismo, la integral definida en dicho intervalo. La gráfica f(x) se conoce a veces como curva de densidad.

\operatorname{P}[a\leq X\leq b]=\int_{a}^{b} f_X(x)\,dx=F(b)-F(a)

Algunas FDP están declaradas en rangos de $-\infty \;$ a $+\infty \;$ , como la de la distribución normal.

Densidades asociadas con múltiples variables

Para variables aleatorias continuas $X_1,X_2,\dots,X_n$ es posible definir una función de probabilidad de densidad, esta es llamada función de densidad conjunta. La función de densidad conjunta está definida como una función de $n$ variables, tal que para cualquier dominio $D$ en el espacio $n$ -dimensional de los valores de las variables $X_1,X_2,\dots,X_n$ , la probabilidad de ocurrencia de un conjunto de variables se encuentre dentro de $D$ es

\operatorname{P}[X_1,\dots,X_n\in D]=\int\cdots\int_Df_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\dots,x_n)\;dx_1\cdots dx_n

Si $F(x_1,\dots,x_n)=\operatorname{P}[X_1\leq x_1,\dots,X_n\leq x_n]$ es la función de distribución del vector $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ entonces la función de densidad conjunta puede obtenerse como una derivada parcial

f(x_1,\dots,x_n)=\frac{\partial F}{\partial x_1\cdots\partial x_n}

Densidad marginal

Para $i=1,\dots,n$ sea $f_{X_i}(x_i)$ la función de densidad asociada con la variable $X_i$ , esta función es llamada función de densidad marginal y puede ser obtenida a partir de la función de densidad conjunta asociada con las variables $X_1,X_2,\dots,X_n$ como

f_{X_i}(x_i)=\underbrace{\int\cdots\int}_{n-1}f_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\dots,x_n)\;dx_1\cdots dx_{i-1}dx_{i+1}\cdots dx_n

Suma de variables aleatorias independientes

La función de densidad de la suma de dos variables aleatorias independientes $U$ y $V$ , cada una de ellas con función de densidad, es la convolución de sus funciones de densidades:

f_{U+V}(x)=\int_{-\infty}^\infty f_U(y)f_V(x-y)\;dy=(f_U*f_V)(x)

Es posible generalizar el resultado anterior a la suma de $N$ variables aleatorias independientes con densidades $U_1,\dots,U_N$

f_{U_1+\cdots+U_N}(x)=(f_{U_1}*\cdots*f_{U_N})(x)

Véase también

En inglés: Probability density function Facts for Kids

Polinomio de Bernstein
Frecuencia estadística

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