Función definida a trozos para niños

En matemáticas, una función definida a trozos es un tipo especial de función. Imagina que tienes una regla para hacer algo, pero esa regla cambia según la situación. Una función definida a trozos funciona así: tiene diferentes reglas o fórmulas para diferentes partes de su dominio (los valores que puede tomar la variable principal).

Esto significa que la forma en que la función se comporta (su "regla de correspondencia") cambia según el valor de la variable independiente. Por ejemplo, una función podría usar una fórmula cuando la variable es menor que cero, y otra fórmula diferente cuando la variable es mayor o igual que cero.

La frase "a trozos" se usa para describir una característica de estas funciones que se cumple en cada una de sus partes, aunque no necesariamente en toda la función. Por ejemplo, una función es diferenciable a trozos si cada una de sus partes es diferenciable.

Ejemplo de gráfica de una función definida a trozos.

¿Qué es una función definida a trozos?

Una función definida a trozos es como un rompecabezas matemático. Está formada por varias "piezas" o "tramos", y cada pieza es una función diferente. Cada una de estas funciones se aplica solo a una parte específica del dominio total de la función.

¿Cómo se define una función a trozos?

Para entenderlo mejor, piensa en el dominio de la función (todos los valores posibles para la variable de entrada) como un camino largo. Este camino se divide en varias secciones más pequeñas. Cada una de estas secciones se llama "subdominio".

• Cada subdominio tiene su propia regla o fórmula matemática.
• Estas secciones no se superponen; son "disjuntas". Esto significa que un valor de la variable de entrada solo puede pertenecer a un único subdominio.

Así, cuando quieres saber el valor de la función para un número específico, primero miras a qué subdominio pertenece ese número. Luego, usas la regla o fórmula que corresponde a ese subdominio para calcular el resultado.

Continuidad en funciones a trozos

La continuidad es una propiedad importante en matemáticas. Una función es continua si puedes dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel.

¿Cuándo es continua una función a trozos?

Para que una función definida a trozos sea continua en un intervalo, deben cumplirse varias cosas:

• Cada una de las funciones que la componen debe ser continua en su propio subdominio.
• No debe haber "saltos" ni "agujeros" en los puntos donde un subdominio termina y otro comienza. Estos puntos se llaman "puntos extremos" de los subdominios.

¿Cómo verificar la continuidad en los puntos de unión?

Para saber si una función a trozos es continua en los puntos donde se unen sus diferentes partes, necesitamos revisar los "límites laterales".

Una función definida a trozos con diferentes funciones cuadráticas a cada lado de .

Imagina que te acercas a un punto de unión desde la izquierda y desde la derecha. Si el valor al que se acerca la función desde la izquierda es el mismo que el valor al que se acerca desde la derecha, y además ese valor es igual al valor de la función justo en ese punto, entonces la función es continua allí.

La imagen de la derecha muestra una función definida a trozos. Cada una de sus partes es continua por sí misma. Sin embargo, en el punto , hay un "salto". Esto significa que la función no es continua en ese punto, porque los límites laterales no coinciden. Es como si las dos piezas del rompecabezas no encajaran perfectamente.

Véase también

En inglés: Piecewise Facts for Kids

• Función indicatriz
• Valor absoluto
• Función signo
• Función unitaria de Heaviside
• Spline
• B-spline