Categoría (matemáticas) para niños
En teoría de categorías, una categoría es una estructura algebraica que consta de una colección de objetos, conectados unos con otros mediante flechas tales que se cumplen las siguientes propiedades básicas: las flechas se pueden componer unas con otras de manera asociativa, y para cada objeto existe una flecha que se comporta como un elemento neutro bajo la composición.
Un ejemplo clásico es la categoría de conjuntos, cuyos objetos son conjuntos y cuyas flechas son las funciones, y donde la composición de flechas es la composición usual de funciones. En general, los objetos y las flechas pueden ser objetos abstractos de cualquier tipo, y la noción de categoría provee de una manera abstracta y fundamental para describir entidades matemáticas y sus relaciones. Esta es la idea central de la teoría de categorías, una rama de las matemáticas que busca generalizar todas las demás teorías matemáticas en términos de objetos y flechas. Prácticamente cualquier rama de las matemáticas modernas se puede describir en términos de categorías, y mediante esta descripción, es común que se revelen propiedades y similitudes muy profundas entre áreas aparentemente distintas. Para notas históricas y fundamentos más profundos véase teoría de categorías.
Dos categorías son iguales si tienen la misma colección de objetos, la misma colección de flechas, y la misma forma asociativa de componer flechas. Dos categorías también se pueden considerar equivalentes incluso si no son precisamente la misma. Muchas categorías muy cotidianas se denotan comúnmente con una abreviación del tipo de sus objetos, por ejemplo: Con se refiere a la categoría de conjuntos, Top se refiere a la categoría de espacios topológicos, Ab se refiere a la categoría de grupos abelianos, etc.
Definición
Una categoría C consta de
- una clase ob(C) de objetos
- para cada par de objetos A, B en ob(C) un conjunto C(A,B) de flechas o morfismos de A a B.
- para cada terna de objetos A, B, C de C una función ∘:C(A,B)×C(B,C)→C(A,C) donde ∘(f,g) se denota g ∘ f.
Además, los siguientes axiomas deben ser ciertos:
- (Asociatividad) para cualquier terna de flechas f,g,h se cumple que h ∘ (g ∘ f)=(h ∘ g) ∘ f, si es que estas composiciones están definidas.
- (Identidad) para todo objeto A en ob(C) existe una flecha en C(A,A) comúnmente denotada 1A tal que para toda flecha f en C(A;B) f=1B ∘ f y f=f ∘ 1A.
De estos axiomas se puede deducir fácilmente que existe una única flecha identidad para cada objeto.
Historia
La noción de categoría, y en general, las primeras nociones de teoría de categorías, aparecieron por primera vez en 1945 en un artículo de Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane llamado "General Theory of Natural Equivalences" (Teoría general de las equivalencias naturales).
Ejemplos
- La categoría Con es aquella cuyos objetos son todos los conjuntos y si A y B son conjuntos, entonces Con(A,B) es el conjunto de funciones con dominio A y codominio B. Ésta es la categoría más comúnmente usada en matemáticas.
Categorías pequeñas y grandes
Una categoría C se llama pequeña si tanto ob(C) como hom(C) son realmente conjuntos y no clase propia, y grande en caso contrario. Una categoría localmente pequeña es una categoría tal que para todos los objetos a y b, la clase hom(a, b) es un conjunto, llamado homset. Muchas categorías importantes en matemáticas (como la categoría de conjuntos), aunque no son pequeñas, son al menos localmente pequeñas. Dado que, en las categorías pequeñas, los objetos forman un conjunto, una categoría pequeña puede verse como una estructura algebraica similar a un monoide pero sin requerir propiedades de cierre. Por otro lado, las categorías grandes pueden utilizarse para crear "estructuras" de estructuras algebraicas.
Véase también
En inglés: Category (mathematics) Facts for Kids
- Teoría de categorías
- Anexo:Símbolos matemáticos
- Categoría enriquecida
- Teoría de categorías de orden superior
