Número transfinito para niños
En el mundo de las matemáticas, un número transfinito es un tipo especial de número que se usa para contar el tamaño de conjuntos infinitos. El matemático alemán Georg Cantor fue quien introdujo este concepto. Estos números son más grandes que cualquier número natural (como 1, 2, 3...).
Hoy en día, cuando hablamos de números que cuentan el tamaño o el orden de conjuntos infinitos, las palabras "transfinito" e "infinito" se usan de forma muy parecida. Los números que cuentan el tamaño de los conjuntos se llaman cardinales, y los que indican el orden se llaman ordinales. Los cardinales son un tipo especial de ordinales.
Contenido
¿Qué son los números transfinitos?
Los números transfinitos nos ayudan a entender que no todas las "infinidades" son iguales. Aunque parezca extraño, algunos conjuntos infinitos son "más grandes" que otros. Georg Cantor descubrió que podemos comparar el tamaño de conjuntos infinitos de una manera lógica.
Contando lo infinito: La idea de Georg Cantor
Georg Cantor se dio cuenta de que podíamos hablar de la cantidad de elementos en un conjunto infinito, igual que hablamos de la cantidad de elementos en un conjunto finito. Él encontró una forma de "medir" el tamaño de un conjunto infinito y compararlo con otro. Así, pudo demostrar que un conjunto infinito podía ser "mayor" que otro.
Cantor pensaba que la gente no entendía bien el infinito. Él explicó que, aunque un conjunto fuera infinito, podíamos "medirlo" y compararlo. Su estudio comenzó cuando se preguntó si era posible emparejar uno a uno los números naturales (1, 2, 3...) con los números reales (todos los números en la recta numérica, incluyendo decimales y fracciones).
Pronto, Cantor demostró que no se podía hacer ese emparejamiento. Esto significaba que el conjunto de los números reales es, de alguna manera, "más grande" que el conjunto de los números naturales, aunque ambos sean infinitos. Fue un descubrimiento muy importante. Curiosamente, Cantor también probó que el conjunto de los números racionales (fracciones) sí se puede emparejar uno a uno con los números naturales.
Un ejemplo sencillo de cómo un conjunto puede tener todos los elementos de otro y más, pero aun así emparejarse uno a uno, es el de los números naturales y los números cuadrados:
- Los números naturales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
- Los números cuadrados son: 1 (1x1), 4 (2x2), 9 (3x3), 16 (4x4), 25 (5x5), ...
Aunque los números cuadrados son solo una parte de los números naturales, podemos emparejarlos uno a uno: el 1 con el 1, el 2 con el 4, el 3 con el 9, el 4 con el 16, y así sucesivamente. Esto muestra que ambos conjuntos tienen el "mismo tamaño" infinito.
Los primeros números transfinitos
Al igual que con los números naturales, los números transfinitos pueden ser de dos tipos:
- Ordinales: Indican el orden de los elementos en un conjunto.
- Cardinales: Indican la cantidad de elementos en un conjunto.
Para los conjuntos finitos, estos dos conceptos son lo mismo. Pero para los conjuntos infinitos, son diferentes.
Aquí te presentamos algunos de los primeros números transfinitos:
- ω (omega): Es el número ordinal transfinito más pequeño. Representa el orden de los números naturales.
- ℵ₀ (alef-cero): Es el primer número alef y el primer número cardinal transfinito. Es el tamaño del conjunto de los números naturales.
- ℵ₁ (alef-uno): Es el segundo número alef y el siguiente número cardinal después de ℵ₀.
Operaciones con números cardinales transfinitos
Podemos sumar, multiplicar y elevar a potencias los números transfinitos, pero las reglas son un poco diferentes a las de los números finitos.
Por ejemplo, si tenemos dos conjuntos infinitos, la suma y la multiplicación de sus tamaños (cardinales) a menudo resultan en el tamaño del conjunto más grande de los dos. Esto es muy diferente a lo que ocurre con los números finitos. Por ejemplo, si sumas un número transfinito muy grande con otro, el resultado es el número transfinito más grande.
La potenciación también se puede hacer. Por ejemplo, si elevamos 2 a la potencia de un número cardinal transfinito, obtenemos el tamaño del conjunto de todas las posibles combinaciones de elementos de ese conjunto.
Galería de imágenes
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Georg Cantor
Véase también
En inglés: Transfinite number Facts for Kids
- alef-0
- infinito
