Teorema del resto para niños

Enciclopedia para niños

En álgebra el teorema del resto afirma que el resto $r\,$ , que resulta al dividir un polinomio $p(x)\,$ entre $x-a\,$ , es igual a $p(a) \,.$

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que

p(x)=q(x)c(x) + r(x)\,,

donde $p(x)\,$ es el dividendo, $q(x)\,$ el divisor, $c(x)\,$ el cociente y $r(x)\,$ el resto y verificándose además, que el grado de $r(x)\,$ es menor que el grado de $q(x)\,$ .

En efecto, si tomamos el divisor $q(x) = x-a\,$ entonces $r(x)\,$ tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar r, y la fórmula anterior se convierte en:

p(x)=(x-a)c(x) + r\,.

Tomando el valor $x=a \!\,$ se obtiene que:

\frac{}{}p(a)=r

El teorema del resto nos permite calcular $p(a)\,$ calculando el resto o viceversa. También puede deducirse de él, fácilmente, el teorema del factor, de gran utilidad para descomponer un polinomio en factores.

Ejemplo

Sea $p(x) = x^3 - 3x^2 - 7\,$ .

Al dividir $p(x)$ por $x-2$ obtenemos el cociente

$c(x) = x^2 - x - 2\,$ y el resto $r = -11\,$ .

Podemos asegurar entonces, que $p(2)=-11\,$ ,

Teorema del factor

Una consecuencia directa es que $(x-a)$ es un factor del polinomio $f(x)$ si y solo si $f(a)=0$ .

Véase también

En inglés: Polynomial remainder theorem Facts for Kids

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