Teorema del índice de Atiyah-Singer para niños
El teorema del índice de Atiyah-Singer es una idea muy importante en las matemáticas, específicamente en una rama llamada geometría diferencial. Fue demostrado por dos matemáticos, Michael Atiyah e Isadore Singer, en 1963.
Este teorema nos dice que, para un tipo especial de "regla matemática" llamada operador diferencial elíptico que actúa sobre un espacio cerrado y sin bordes (conocido como variedad), hay dos formas de medir algo que resultan ser iguales.
Una de estas medidas es el índice analítico. Piensa en esto como el número de soluciones que tiene un problema matemático, menos el número de "obstáculos" que impiden que haya más soluciones. La otra medida es el índice topológico, que se basa en la forma y las propiedades del espacio mismo, como si tiene agujeros o cómo está conectado.
Lo sorprendente es que el teorema de Atiyah-Singer demuestra que estas dos medidas, que parecen tan diferentes, ¡siempre son iguales! Este teorema es tan poderoso que incluye como casos especiales a muchos otros teoremas importantes de las matemáticas, como el teorema de Gauss-Bonnet generalizado y el teorema de Riemann-Roch. También tiene usos en la física teórica.
Contenido
¿Cómo surgió este teorema?
La idea de encontrar una fórmula para este "índice" de los operadores elípticos fue propuesta por el matemático Izrail Guelfand. Él se dio cuenta de que este índice no cambiaba si se deformaba el espacio de cierta manera (lo que se llama "invariabilidad homotópica"). Quería una fórmula que lo relacionara con las propiedades de la forma del espacio (llamadas invariantes topológicos).
Algunos ejemplos que inspiraron este trabajo fueron el teorema de Riemann-Roch y el teorema de la firma de Hirzebruch. Los matemáticos Friedrich Hirzebruch y Armand Borel habían encontrado una propiedad interesante en ciertos espacios, y Atiyah sugirió que esto podría explicarse si fuera el índice de un operador especial llamado operador de Dirac.
El teorema de Atiyah-Singer fue anunciado en 1963. Su primera demostración publicada usó una rama de las matemáticas llamada K-teoría para explicar varias generalizaciones.
Momentos clave en su desarrollo
- 1965: Sergey P. Novikov publicó sus hallazgos sobre cómo ciertas propiedades de las formas (clases de Pontryagin) no cambian en espacios suaves.
- 1969: Michael Atiyah definió operadores elípticos más generales, lo que ayudó a desarrollar nuevas áreas de las matemáticas.
- 1971: Isadore Singer propuso un plan para futuras extensiones de esta teoría.
- 1973: Atiyah, Raoul Bott y Vijay Patodi encontraron una nueva forma de demostrar el teorema usando la ecuación del calor, que describe cómo se propaga el calor.
- 1983: Ezra Getzler, inspirado por otros matemáticos, dio una demostración más corta para muchos casos útiles del teorema.
- 1984: Nicolae Teleman demostró el teorema del índice para espacios topológicos, lo que significa que no se necesita que el espacio sea "suave" para que el teorema funcione.
- 1986: Alain Connes publicó un trabajo muy importante sobre la geometría no conmutativa, un área que también se beneficia de este teorema.
¿Qué es un operador diferencial elíptico?
Imagina que tienes una regla matemática que transforma una función en otra. Un operador diferencial es una de esas reglas que usa derivadas (que miden cómo cambia una función).
Un operador se llama elíptico si su "símbolo" (una parte importante que describe su comportamiento principal) nunca es cero, excepto en un punto específico. Esto significa que estos operadores son "casi invertibles", lo que es una propiedad muy útil.
Una consecuencia importante de ser elíptico es que el número de soluciones a la ecuación `D(f) = 0` (el "núcleo") es limitado, es decir, finito.
El índice analítico
Como mencionamos, el índice analítico de un operador elíptico `D` se define como la diferencia entre la dimensión del núcleo de `D` (el número de soluciones de `D(f) = 0`) y la dimensión del "cokernel" de `D` (que son las condiciones que deben cumplirse para que una ecuación `D(f) = g` tenga solución). En otras palabras:
- Index(D) = dim Núcleo(D) − dim Cokernel(D)
Aunque el número de soluciones o de obstáculos puede cambiar de forma complicada, la diferencia entre ellos (el índice) se mantiene constante y puede describirse con propiedades de la forma del espacio.
El índice topológico
El índice topológico de un operador elíptico se calcula usando propiedades de la forma del espacio `X` y de los "haces vectoriales" `E` y `F` (que son como colecciones de flechas o vectores que se extienden desde cada punto del espacio). Se calcula con una fórmula que involucra la clase de Todd del espacio y la clase de Chern del operador.
Aunque la definición del índice topológico puede parecer complicada, a menudo es más fácil de calcular que el índice analítico.
El problema del índice y su solución
El "problema del índice" era encontrar una manera de calcular el índice analítico de un operador `D` usando solo su "símbolo" y las propiedades de la forma del espacio (datos topológicos).
El teorema del índice de Atiyah-Singer resuelve este problema al afirmar:
- El índice analítico de D es igual a su índice topológico.
Esto es muy útil porque, aunque el número de soluciones o de obstáculos de un operador elíptico es difícil de encontrar por separado, el teorema nos permite calcular su diferencia usando propiedades de la forma del espacio, que a menudo son más fáciles de determinar.
Además, el índice analítico es siempre un número entero. El índice topológico, por su definición, podría parecer un número con decimales, pero el teorema de Atiyah-Singer nos dice que ¡también es siempre un número entero! Esto revela propiedades muy profundas de los números.
Ejemplos de aplicación
Teorema de Gauss-Bonnet generalizado
Si tomamos un espacio `M` (una variedad orientada y compacta) y definimos un operador `D` de una manera específica, el índice topológico de `D` resulta ser la Característica de Euler del espacio `M`. La característica de Euler es un número que describe la forma de un objeto (por ejemplo, para una esfera es 2, para un toro es 0). El índice analítico de `D` es la clase de Euler de la variedad. Al igualar estos dos índices, obtenemos el Teorema de Gauss-Bonnet generalizado, que relaciona la curvatura de un espacio con su característica de Euler.
Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch
Este teorema se aplica a las variedades complejas (espacios donde se pueden usar números complejos). Si definimos un operador `D` de una manera particular, su índice analítico es una suma especial llamada "característica holomorfa de Euler". Su índice topológico se calcula con el "carácter de Chern" y la "clase Todd" del espacio. Al igualar estos dos índices, obtenemos el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch, que es muy importante en la geometría algebraica.
Extensiones del teorema del índice de Atiyah-Singer
El teorema original ha sido extendido y generalizado de muchas maneras:
Teorema del índice de Teleman
Este teorema, demostrado por Nicolae Teleman, dice que el teorema del índice también funciona para operadores elípticos abstractos en espacios topológicos cerrados y orientados. Esto es importante porque muestra que el teorema no solo se aplica a espacios "suaves" (diferenciables), sino que es una propiedad más fundamental de la forma de los espacios.
Teorema del índice de Connes-Donaldson-Sullivan-Teleman
Este avance, de varios matemáticos, muestra que se pueden construir propiedades de la forma (clases características) incluso en espacios que no son suaves, sino "cuasiconformes". Esto amplía aún más el alcance del teorema del índice.
Otras ampliaciones
- Operadores pseudodiferenciales: El teorema también se aplica a operadores más generales llamados "pseudodiferenciales".
- Complejos elípticos: En lugar de un solo operador, se puede considerar una secuencia de operadores que forman un "complejo elíptico".
- Variedades con límites: Si el espacio tiene bordes, se necesitan condiciones especiales para que el índice sea finito.
- Familias de operadores: Si se tiene una familia de operadores que dependen de un parámetro, el índice puede ser un elemento de una teoría K más compleja.
- Acciones de grupo: Si un grupo actúa sobre el espacio, el teorema se puede generalizar para incluir información sobre los puntos fijos de esa acción.
- Variedades no compactas: Atiyah también mostró cómo extender el teorema a algunos espacios que no son compactos, usando un tipo especial de índice.
- Teorema del índice de Callias: Este teorema es para un tipo específico de operador en espacios no compactos de dimensión impar.
Galería de imágenes
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Diagrama que muestra la relación del teorema del índice con el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch.
Véase también
En inglés: Atiyah–Singer index theorem Facts for Kids
