Raíz primitiva módulo n para niños
Una raíz primitiva es un concepto interesante en matemáticas, especialmente en la Aritmética modular. Imagina que tienes un número, por ejemplo, el 5. Si tomas otro número, digamos el 3, y lo elevas a diferentes potencias, pero siempre calculando el "resto" al dividir por 5, verás un patrón.
Una raíz primitiva de un número n es un número a que, cuando lo elevas a diferentes potencias (1, 2, 3, etc.) y calculas el resto al dividir por n, te da todos los números que son menores que n y que no comparten factores comunes con n (aparte del 1). A estos números se les llama "coprimos" de n.
La cantidad de números coprimos menores que n se calcula con una función especial llamada función phi de Euler (se escribe φ(n)). Una raíz primitiva es un número que puede generar exactamente esa cantidad de restos diferentes antes de que los restos empiecen a repetirse.
Contenido
¿Cómo funcionan las raíces primitivas?
Ejemplos de raíces primitivas
Para entenderlo mejor, veamos algunos ejemplos:
Raíz primitiva módulo 5
Si tomamos el número n = 5, los números menores que 5 y coprimos con 5 son 1, 2, 3 y 4. La función φ(5) es 4. Ahora, probemos con el número 3 como posible raíz primitiva:
- 3 elevado a la potencia 1 es 3. El resto de 3 dividido por 5 es 3.
- 3 elevado a la potencia 2 es 9. El resto de 9 dividido por 5 es 4.
- 3 elevado a la potencia 3 es 27. El resto de 27 dividido por 5 es 2.
- 3 elevado a la potencia 4 es 81. El resto de 81 dividido por 5 es 1.
Como puedes ver, al elevar 3 a diferentes potencias y calcular el resto módulo 5, obtuvimos los números 3, 4, 2 y 1. ¡Estos son todos los números coprimos con 5! Por eso, el 3 es una raíz primitiva módulo 5.
Raíz primitiva módulo 14
Ahora, consideremos el número n = 14. Los números menores que 14 y coprimos con 14 son 1, 3, 5, 9, 11 y 13. La función φ(14) es 6. Probemos con el número 5 como posible raíz primitiva:
- 5 elevado a la potencia 0 es 1. El resto de 1 dividido por 14 es 1.
- 5 elevado a la potencia 1 es 5. El resto de 5 dividido por 14 es 5.
- 5 elevado a la potencia 2 es 25. El resto de 25 dividido por 14 es 11.
- 5 elevado a la potencia 3 es 125. El resto de 125 dividido por 14 es 13.
- 5 elevado a la potencia 4 es 625. El resto de 625 dividido por 14 es 9.
- 5 elevado a la potencia 5 es 3125. El resto de 3125 dividido por 14 es 3.
Hemos obtenido los números 1, 5, 11, 13, 9 y 3. ¡Estos son todos los números coprimos con 14! Así que el 5 es una raíz primitiva módulo 14.
¿Cuándo existen las raíces primitivas?
No todos los números n tienen raíces primitivas. Los matemáticos han descubierto que las raíces primitivas solo existen para ciertos tipos de números:
- Cuando n es 1, 2 o 4.
- Cuando n es un número primo (como 3, 5, 7, 11...).
- Cuando n es una potencia de un número primo impar (como 3²=9, 5³=125...).
- Cuando n es el doble de una potencia de un número primo impar (como 2 x 3²=18, 2 x 5³=250...).
Para cualquier otro número n, no encontrarás una raíz primitiva.
Usos de las raíces primitivas
Las raíces primitivas son muy importantes en el campo de la criptografía, que es la ciencia de proteger la información. Por ejemplo, en un método de seguridad llamado Diffie-Hellman, se elige un número primo p y una raíz primitiva g módulo p. Estos números se usan para crear claves secretas compartidas entre dos personas que quieren comunicarse de forma segura.
Un desafío relacionado con las raíces primitivas es el "problema del logaritmo discreto". Si conoces la raíz primitiva g, el número p y un resultado b (donde b es igual a g elevado a alguna potencia r módulo p), es muy difícil encontrar esa potencia r. Esta dificultad es lo que hace que muchos sistemas de seguridad sean robustos y difíciles de descifrar.
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Véase también
En inglés: Primitive root modulo n Facts for Kids
