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Puente browniano para niños

Enciclopedia para niños

Un puente browniano es un proceso estocástico a tiempo continuo X_t (en ocasiones denotado por B_t) construido a partir del proceso de Wiener (modelo matemático del movimiento browniano).

Puente Browniano Estándar

Definición

Un puente browniano estándar es un proceso estocástico a tiempo continuo\{X_t:t\in[0,1]\} con espacio de estados S=\mathbb{R} que satisface

  1. X_0=X_1=0.
  2. \{X_t:t\in[0,1]\} es un proceso Gaussiano.
  3. \operatorname{E}[X_t]=0 para t\in[0,1].
  4. \operatorname{Cov}(X_t,X_s)=\min\{s,t\}-st para s,t\in[0,1].

Construcción del puente browniano estándar

El puente browniano estándar se puede construir de distintas maneras a partir del proceso de Wiener considerando los siguientes teoremas:

Teorema

Sean \{W_t:t\geq0\} un proceso de Wiener estándar y X_t=W_t-tW_1 para t\in[0,1] entonces el proceso estocástico \{X_t:t\in[0,1]\} es un puente browniano.

Teorema

Sea \{W_t:t\geq0\} un proceso de Wiener estándar, se definen X_1=0 y

X_t=(1-t)W\left(\frac{t}{1-t}\right)

para t\in[0,1] entonces \{X_t:t\in[0,1]\} es un puente browniano.

Teorema

Sea \{W_t:t\geq0\} un proceso de Wiener estándar, se definen X_1=1 y

X_t=(1-t)\int_0^t\frac{1}{1-s}dX_t

para t\in[0,1] entonces \{X_t:t\in[0,1]\} es un puente browniano, en forma diferencial, este proceso puede ser escrito como

dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dX_t

con X_0=0.

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Brownian bridge Facts for Kids

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