Número primo de Ramanujan para niños
En matemáticas, un primo de Ramanujan es un número primo especial que cumple con una regla descubierta por el famoso matemático Srinivasa Ramanujan. Esta regla tiene que ver con cuántos números primos hay en ciertos rangos.
Contenido
¿Qué son los primos de Ramanujan?
El descubrimiento de Ramanujan
En 1919, Ramanujan publicó un trabajo donde demostró una idea importante sobre los números primos. Esta idea ya había sido probada por otro matemático, Pafnuty Chebyshev. Al final de su trabajo, Ramanujan presentó un resultado más general.
Imagina que tienes una función llamada 
. Esta función simplemente cuenta cuántos números primos hay que son menores o iguales a un número x. Por ejemplo, si x es 10, los primos son 2, 3, 5, 7, así que Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \pi(10) sería 4.
Ramanujan descubrió que la cantidad de números primos entre x y x/2 (es decir, 
) siempre es mayor o igual a un número específico, dependiendo de qué tan grande sea x. Por ejemplo, siempre hay al menos 1 primo si x es 2 o más, al menos 2 primos si x es 11 o más, y así sucesivamente.
Definiendo los primos de Ramanujan
Los primos de Ramanujan se definen a partir de este descubrimiento. El enésimo primo de Ramanujan, que llamamos Rn, es el número entero más pequeño que cumple lo siguiente:
Para cualquier número x que sea igual o mayor que Rn, siempre habrá al menos n números primos entre x y x/2.
En otras palabras, los primos de Ramanujan son los números más pequeños que garantizan que siempre encontrarás una cierta cantidad de primos en un rango específico (entre la mitad de un número y el número mismo), siempre que el número sea lo suficientemente grande.
Los primeros cinco primos de Ramanujan son: 2, 11, 17, 29 y 41.
Es interesante saber que el número Rn siempre es un número primo. Esto se debe a que la cantidad de primos en el rango aumenta justo cuando x llega a un nuevo número primo.
¿Cómo se comportan los primos de Ramanujan?
Límites y aproximaciones
Los matemáticos han encontrado formas de estimar dónde se encuentran los primos de Ramanujan. Para cualquier n mayor o igual a 1, se sabe que Rn está entre dos valores:
- Es mayor que el doble de n multiplicado por el logaritmo natural de 2n.
- Es menor que el cuádruple de n multiplicado por el logaritmo natural de 4n.
También se ha descubierto que, si n es mayor que 1, Rn siempre es mayor que el primo número 2n (el primo que ocupa la posición 2n en la lista de primos) y menor que el primo número 3n.
Cuando n se hace muy, muy grande, Rn se parece mucho al primo que ocupa la posición 2n. Esto se conoce como un comportamiento "asintótico", lo que significa que se acercan mucho a medida que los números crecen.
Estos resultados fueron probados por varios matemáticos como Sondow, Laishram, Nicholson y Noe, quienes fueron mejorando las estimaciones con el tiempo.
Primos de Ramanujan generalizados
Una idea más amplia
Podemos hacer la definición de los primos de Ramanujan un poco más general. Imagina que en lugar de buscar primos entre x/2 y x, buscamos primos entre cx y x, donde c es un número entre 0 y 1.
El enésimo c-primo de Ramanujan, llamado Rc,n, es el número entero más pequeño que cumple que, para cualquier x igual o mayor que Rc,n, hay al menos n primos entre cx y x.
Cuando c es 1/2 (o 0.5), esta definición es exactamente la misma que la de los primos de Ramanujan originales.
Por ejemplo, si c es 1/4 (o 0.25), los primeros c-primos de Ramanujan son: 2, 3, 5, 13, 17, ... Y si c es 3/4 (o 0.75), los primeros c-primos de Ramanujan son: 11, 29, 59, 67, 101, ...
Se sabe que estos primos de Ramanujan generalizados siempre existen y también son números primos. Además, cuando n se hace muy grande, Rc,n se parece mucho al primo que ocupa la posición n/(1 - c).
Véase también
En inglés: Ramanujan prime Facts for Kids
