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Matriz transpuesta para niños

Enciclopedia para niños

La matriz traspuesta es una forma especial de cambiar una matriz. Imagina una matriz como una tabla de números, con filas (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales). Cuando "traspuestas" una matriz, lo que haces es intercambiar sus filas por sus columnas.

Si tienes una matriz llamada A que tiene, por ejemplo, 3 filas y 2 columnas, su traspuesta, que se escribe como At, tendrá 2 filas y 3 columnas. Los números que estaban en la primera fila de A ahora estarán en la primera columna de At, y así sucesivamente. Es como si giraras la matriz.

¿Cómo se traspone una matriz?

Para entenderlo mejor, veamos un ejemplo sencillo. Si tienes una matriz A con números organizados así:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \\ \end{bmatrix}

Su traspuesta, At, se vería de esta manera:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \begin{bmatrix} a & c & e \\ b & d & f \\ \end{bmatrix}

Fíjate cómo la primera fila (a, b) se convirtió en la primera columna. La segunda fila (c, d) se hizo la segunda columna, y la tercera fila (e, f) se convirtió en la tercera columna.

Ejemplos prácticos de traspuesta

Aquí tienes otro ejemplo con números reales:


   \begin{bmatrix}
      1 & 2 \\
      3 & 4 \\
      5 & 6 \\
   \end{bmatrix}^t
   = 
   \begin{bmatrix}
      1 & 3 & 5 \\
      2 & 4 & 6
   \end{bmatrix}

Y un ejemplo con una matriz más grande:


\begin{bmatrix}  0 & 0 & 4 \\  1 & 0 & 4 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 3 & 2 \\  0 & 2 & 3 \\  0 & 3 & 4 \\  3 & 3 & 1 \end{bmatrix}^t  
\quad = \quad
\begin{bmatrix}  0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\  0 & 0 & 1 & 3 & 2 & 3 & 3 \\  4 & 4 & 0 & 2 & 3 & 4 & 1 \end{bmatrix}

Propiedades importantes de la matriz traspuesta

Las matrices traspuestas tienen algunas reglas interesantes que siempre se cumplen:

  • Traspuesta de una traspuesta: Si traspuestas una matriz y luego vuelves a traspuestas el resultado, obtendrás la matriz original. Es como si la giraras dos veces y volviera a su posición inicial.

 :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (A^t)^t = A \,

  • Traspuesta de una suma: Si sumas dos matrices y luego traspuestas el resultado, es lo mismo que si traspuestas cada matriz por separado y luego las sumas.

 :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (A + B)^t = A^t + B^t \,

  • Traspuesta de una matriz multiplicada por un número: Si multiplicas una matriz por un número y luego la traspuestas, es igual a traspuestas la matriz primero y luego multiplicarla por ese mismo número.

 :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (c \, A)^t = c \, A^t

  • Traspuesta de un producto de matrices: Si multiplicas dos matrices (A y B) y luego traspuestas el resultado, es lo mismo que traspuestas la segunda matriz (B) y luego la primera (A), y después multiplicarlas en ese orden. ¡Ojo, el orden cambia!

 :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (AB)^t = B^tA^t \,

Tipos especiales de matrices relacionadas con la traspuesta

Algunas matrices tienen características especiales cuando se comparan con su traspuesta:

  • Matriz simétrica: Una matriz cuadrada (que tiene el mismo número de filas y columnas) es simétrica si es igual a su propia traspuesta. Es decir, si la giras, sigue siendo la misma.

 :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A^t = A \,

  • Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si su traspuesta es igual a la misma matriz, pero con todos sus números cambiados de signo (positivos a negativos y viceversa).

 :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A^t = -A \,

Galería de imágenes

¿Sabías que...?

  • La idea de la traspuesta se usa para definir otros tipos de matrices, como la Matriz ortogonal.
  • Antiguamente, existía un instrumento llamado Escítala que se usaba para cifrar mensajes. Funcionaba enrollando una tira de cuero en un bastón de cierto grosor y escribiendo el mensaje. Al desenrollarlo, las letras se desordenaban, y para leerlo, se necesitaba un bastón del mismo grosor. ¡Esto es un ejemplo de cómo la idea de la traspuesta se usaba para esconder información!

Véase también

Kids robot.svg En inglés: Transpose Facts for Kids

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Matriz transpuesta para Niños. Enciclopedia Kiddle.