Matriz transpuesta para niños

La matriz traspuesta es una forma especial de cambiar una matriz. Imagina una matriz como una tabla de números, con filas (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales). Cuando "traspuestas" una matriz, lo que haces es intercambiar sus filas por sus columnas.

Si tienes una matriz llamada A que tiene, por ejemplo, 3 filas y 2 columnas, su traspuesta, que se escribe como A^t, tendrá 2 filas y 3 columnas. Los números que estaban en la primera fila de A ahora estarán en la primera columna de A^t, y así sucesivamente. Es como si giraras la matriz.

¿Cómo se traspone una matriz?

Para entenderlo mejor, veamos un ejemplo sencillo. Si tienes una matriz A con números organizados así:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \\ \end{bmatrix}

Su traspuesta, A^t, se vería de esta manera:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): \begin{bmatrix} a & c & e \\ b & d & f \\ \end{bmatrix}

Fíjate cómo la primera fila (a, b) se convirtió en la primera columna. La segunda fila (c, d) se hizo la segunda columna, y la tercera fila (e, f) se convirtió en la tercera columna.

Ejemplos prácticos de traspuesta

Aquí tienes otro ejemplo con números reales:

Y un ejemplo con una matriz más grande:

Propiedades importantes de la matriz traspuesta

Las matrices traspuestas tienen algunas reglas interesantes que siempre se cumplen:

• Traspuesta de una traspuesta: Si traspuestas una matriz y luego vuelves a traspuestas el resultado, obtendrás la matriz original. Es como si la giraras dos veces y volviera a su posición inicial.

 :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (A^t)^t = A \,

• Traspuesta de una suma: Si sumas dos matrices y luego traspuestas el resultado, es lo mismo que si traspuestas cada matriz por separado y luego las sumas.

 :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (A + B)^t = A^t + B^t \,

• Traspuesta de una matriz multiplicada por un número: Si multiplicas una matriz por un número y luego la traspuestas, es igual a traspuestas la matriz primero y luego multiplicarla por ese mismo número.

 :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (c \, A)^t = c \, A^t

• Traspuesta de un producto de matrices: Si multiplicas dos matrices (A y B) y luego traspuestas el resultado, es lo mismo que traspuestas la segunda matriz (B) y luego la primera (A), y después multiplicarlas en ese orden. ¡Ojo, el orden cambia!

 :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): (AB)^t = B^tA^t \,

Tipos especiales de matrices relacionadas con la traspuesta

Algunas matrices tienen características especiales cuando se comparan con su traspuesta:

• Matriz simétrica: Una matriz cuadrada (que tiene el mismo número de filas y columnas) es simétrica si es igual a su propia traspuesta. Es decir, si la giras, sigue siendo la misma.

 :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A^t = A \,

• Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si su traspuesta es igual a la misma matriz, pero con todos sus números cambiados de signo (positivos a negativos y viceversa).

 :Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A^t = -A \,

Galería de imágenes

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  La traspuesta A^T de una matriz A puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz traspuesta devuelve los elementos a su posición original. Así, la traspuesta de una traspuesta es la matriz original, (A^T)^T = A.

¿Sabías que...?

• La idea de la traspuesta se usa para definir otros tipos de matrices, como la Matriz ortogonal.
• Antiguamente, existía un instrumento llamado Escítala que se usaba para cifrar mensajes. Funcionaba enrollando una tira de cuero en un bastón de cierto grosor y escribiendo el mensaje. Al desenrollarlo, las letras se desordenaban, y para leerlo, se necesitaba un bastón del mismo grosor. ¡Esto es un ejemplo de cómo la idea de la traspuesta se usaba para esconder información!

Véase también

En inglés: Transpose Facts for Kids