Matriz cuadrada para niños

Una matriz cuadrada es un tipo especial de matriz (que es una tabla de números o símbolos organizados en filas y columnas). Se llama "cuadrada" porque tiene el mismo número de filas que de columnas. Imagina una cuadrícula o un tablero de ajedrez: el número de casillas a lo largo es el mismo que el número de casillas hacia abajo.

Si una matriz tiene n filas y m columnas, es cuadrada si n es igual a m. En ese caso, decimos que la matriz es de orden n. Por ejemplo, una matriz de 3 filas y 3 columnas es de orden 3.

Aquí puedes ver cómo se representa una matriz cuadrada de forma general:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}

Las matrices cuadradas son muy importantes y se usan mucho en el álgebra y otras áreas de las matemáticas.

¿Qué propiedades tienen las matrices cuadradas?

Las matrices cuadradas tienen características especiales que las hacen muy útiles.

Suma y multiplicación de matrices

Si tienes dos matrices cuadradas del mismo tamaño (es decir, del mismo orden), puedes sumarlas fácilmente. Simplemente sumas los números que están en la misma posición en ambas matrices.

Cuando multiplicas matrices, el orden en que las multiplicas sí importa. Por lo general, si multiplicas la matriz A por la matriz B (A veces B), el resultado no será el mismo que si multiplicas la matriz B por la matriz A (B veces A).

El determinante de una matriz

Solo las matrices cuadradas tienen algo llamado determinante. El determinante es un número especial que se calcula a partir de los elementos de la matriz. Es como una "huella digital" de la matriz que nos da información importante sobre ella.

Matrices singulares

Una matriz cuadrada se llama singular si su determinante es cero. Esto es importante porque una matriz singular no tiene una "matriz inversa". La matriz inversa es como el número inverso en la multiplicación (por ejemplo, el inverso de 2 es 1/2, porque 2 * 1/2 = 1). En las matrices, la inversa nos ayuda a "deshacer" una operación.

Tipos especiales de matrices cuadradas

Dentro de las matrices cuadradas, existen varios tipos que se distinguen por la posición de sus números.

Matriz triangular superior

Una matriz cuadrada es triangular superior si todos los números que están por debajo de su diagonal principal son cero. La diagonal principal son los números que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha.

Así se ve una matriz triangular superior:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1m} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2m} \\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & a_{3m} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nm} \\ \end{pmatrix}

Ejemplo:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A = \begin{pmatrix} 3 & 6 & 12 & -3 \\ 0 & -2 & 4 & 9\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \\ \end{pmatrix}

Matriz triangular inferior

Una matriz cuadrada es triangular inferior si todos los números que están por encima de su diagonal principal son cero.

Así se ve una matriz triangular inferior:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nm} \\ \end{pmatrix}

Ejemplo:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 6 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}

Matriz diagonal

Una matriz cuadrada es diagonal si todos los números fuera de la diagonal principal son cero. Solo los números en la diagonal principal pueden ser diferentes de cero.

Así se ve una matriz diagonal:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}

Ejemplo:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \\ \end{pmatrix}

Una matriz diagonal es, al mismo tiempo, triangular superior y triangular inferior.

Matriz identidad (o unidad)

La matriz identidad (también llamada matriz unidad) es un tipo especial de matriz diagonal. En ella, todos los números de la diagonal principal son 1, y todos los demás números son 0. Se representa con la letra I. Es como el número 1 en la multiplicación, ya que al multiplicar cualquier matriz por la matriz identidad, el resultado es la misma matriz.

Así se ve una matriz identidad:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}

Ejemplo:

Error al representar (Falta el ejecutable <code>texvc</code>. Véase math/README para configurarlo.): I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Véase también

En inglés: Matrix (mathematics) Facts for Kids