Independencia (lógica matemática) para niños
En lógica matemática, la independencia o indecidibilidad es una idea importante que nos dice que no siempre podemos probar si una afirmación es verdadera o falsa usando un conjunto de reglas o conocimientos que ya tenemos. Imagina que tienes un juego con ciertas reglas; una afirmación es independiente si, con esas reglas, no puedes demostrar que es cierta ni que es falsa.
Una afirmación o "sentencia" se considera independiente en una "teoría lógica" (que es como un conjunto de reglas y verdades ya aceptadas) si esa teoría no puede probar que la afirmación es verdadera, ni tampoco puede probar que es falsa. Es como si la afirmación estuviera "fuera del alcance" de lo que se puede decidir con esas reglas.
Contenido
¿Qué significa "indecidible"?
El término indecidible a veces se usa como sinónimo de independiente, por ejemplo, cuando decimos que una "sentencia es indecidible en una teoría". Esto significa que no se puede decidir si es verdadera o falsa usando las reglas de esa teoría.
Sin embargo, la palabra indecidible también se usa en otra área de las matemáticas, la teoría de la computabilidad. Aquí, un problema indecidible es un tipo de problema matemático que no puede ser resuelto por una computadora o un algoritmo (una serie de pasos para resolver algo). Aunque son conceptos diferentes, a veces están relacionados. Por ejemplo, saber si una afirmación es independiente en una teoría a menudo es un problema indecidible en sí mismo.
También es importante saber que a veces "independiente en una teoría" se usa solo para decir que algo "no se puede demostrar" en esa teoría, sin importar si se puede refutar o no. Y la palabra consistente se usa para decir que algo "no se puede refutar" en una teoría.
Ejemplos de afirmaciones independientes
Hay muchas afirmaciones interesantes en matemáticas que son independientes de las reglas que usamos para estudiarlas. Aquí te mostramos algunos ejemplos:
Afirmaciones en la teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas que estudia las colecciones de objetos. Algunas afirmaciones importantes en esta área son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), que es un conjunto de reglas muy usado. Esto significa que no se pueden probar ni refutar usando solo esas reglas. Algunos ejemplos son:
- El axioma de elección: Una regla que dice que siempre podemos elegir un elemento de cada conjunto en una colección, incluso si hay infinitos conjuntos.
- La hipótesis del continuo: Una afirmación sobre el tamaño de los conjuntos infinitos.
Afirmaciones en la aritmética
El teorema de incompletitud de Gödel es un resultado muy famoso que nos dice que en cualquier sistema de reglas lo suficientemente complejo como para incluir la aritmética de Peano (las reglas básicas de los números), siempre habrá afirmaciones que son independientes. Es decir, no se pueden probar ni refutar dentro de ese sistema. Algunos ejemplos son:
- La sentencia de Gödel: Una afirmación especial que dice "esta sentencia no se puede probar".
- La afirmación que dice que el propio sistema de reglas es consistente (que no tiene contradicciones).
Además, existen afirmaciones sobre números que no involucran directamente conceptos lógicos, pero que también son independientes de las reglas básicas de la aritmética. Algunos de estos son:
- El teorema de Paris-Harrington: Una versión más fuerte de un teorema llamado teorema de Ramsey.
- El teorema de Goodstein: Un teorema sobre secuencias de números que crecen de una manera muy particular.
El quinto postulado de Euclides
Un ejemplo muy antiguo y conocido de independencia es el quinto postulado de Euclides. Este postulado es una de las reglas fundamentales de la geometría euclídea (la geometría que aprendemos en la escuela, con líneas rectas y ángulos). Durante mucho tiempo, los matemáticos intentaron demostrar este postulado a partir de los otros axiomas de Euclides, pero no pudieron. Finalmente, se descubrió que era independiente, lo que significa que no se puede probar a partir de los demás. Esto llevó al desarrollo de las geometrías no euclídeas, que son tipos de geometría donde el quinto postulado no es válido, pero que son igual de válidas y útiles.
Galería de imágenes
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Kurt Gödel.jpg
Kurt Gödel, un matemático y lógico que demostró la existencia de afirmaciones independientes en sistemas matemáticos.
Véase también
En inglés: 