Estadística de Fermi-Dirac para niños
La estadística de Fermi-Dirac es la forma de contar estados de ocupación de forma estadística en un sistema de fermiones. Forma parte de la física estadística. Y tiene aplicaciones sobre todo en la física del estado sólido.
La energía de un sistema mecanocuántico está discretizada. Esto quiere decir que las partículas no pueden tener cualquier energía, sino que ha de ser elegida de entre un conjunto de valores discretos. Para muchas aplicaciones de la física es importante saber cuántas partículas están a un nivel dado de energía. La distribución de Fermi-Dirac nos dice cuánto vale esta cantidad en función de la temperatura y el potencial químico.
La estadística F-D fue publicada por vez primera en 1926 por Enrico Fermi y Paul Dirac.
Formulación matemática
La distribución de Fermi-Dirac viene dada por:
donde:
el número promedio de partículas en el estado de energía 
.
es la degeneración del estado i-ésimo
es la energía en el estado i-ésimo
es el potencial químico
es la temperatura
la constante de Boltzmann
Derivación
El método empleado consistirá en obtener la función de partición para la colectividad macrocanónica, de forma que una vez obtenida se conocerá el gran potencial y a partir de una relación termodinámica se obtendrá el número medio de partículas.
Dado que los sistemas fermiónicos son sistemas de partículas indistinguibles, los estados cuya única diferencia es la permutación de estados de dos partículas son idénticos. De este modo, un estado del sistema estará univocamente definido por el número de partículas que se encuentren en un determinado estado energético, y al tratarse de fermiones los números posibles son 0 y 1. Se denotará por 
el estado energético r-ésimo, por 
el número de partículas en el estado r-ésimo y R cada una de las posibles combinaciones de números de ocupación. La función de partición resulta:
La anterior expresión contiene todas las combinaciones posibles de para los valores 0 y 1 de forma que puede ser reescrita de la siguiente forma:
Aplicando que:
se tiene que:
de modo que:
Debido a que pueden existir diferentes estados cuánticos con una misma energía el número de partículas con una determinada energía vendrá dado por:
siendo 
la degeneración de tal energía.
Aplicaciones
La conductividad en los metales puede ser explicada con gran aproximación gracias a la estadística de Fermi-Dirac aplicada a los electrones de conducción o «gas electrónico» del metal.
Véase también
En inglés: Fermi–Dirac statistics Facts for Kids
