Conjunto de Cantor para niños
El conjunto de Cantor, nombrado así por el matemático Georg Cantor en 1883, es un ejemplo fascinante de un fractal. Es un grupo especial de puntos dentro del segmento de números que va del 0 al 1.
Este conjunto se puede entender de dos maneras principales:
- De forma numérica: Son todos los puntos entre 0 y 1 que, si los escribimos en un sistema de números llamado "base 3", no usan el dígito 1.
- De forma geométrica: Se construye quitando repetidamente el tercio central de cada segmento que va quedando.
Aunque parece una curiosidad matemática, el conjunto de Cantor es muy especial. Por ejemplo, tiene una "longitud" de cero, pero no está vacío y contiene muchísimos puntos.
Georg Cantor no fue el primero en estudiar este conjunto. Un matemático de Dublín, Henry John Stephen Smith, ya lo había investigado en 1875. Sin embargo, como Smith falleció y su trabajo no fue muy conocido, fue Cantor quien se hizo famoso por este descubrimiento.
Contenido
¿Cómo se construye el Conjunto de Cantor?
La forma más sencilla de entender el conjunto de Cantor es viendo cómo se construye paso a paso. Es un proceso que se repite una y otra vez:
Pasos para crear el Conjunto de Cantor
- Paso 1: Empezamos con un segmento de línea que va del 0 al 1. Imagina una regla de 0 a 1 metro.
- Paso 2: Quitamos el tercio central de ese segmento. Es decir, eliminamos la parte que va de 1/3 a 2/3. Nos quedan dos segmentos: uno de 0 a 1/3 y otro de 2/3 a 1.
- Paso 3: Ahora, a cada uno de esos dos segmentos que nos quedaron, les quitamos también su tercio central. Así, del segmento [0, 1/3] quitamos (1/9, 2/9), y del segmento [2/3, 1] quitamos (7/9, 8/9).
- Pasos siguientes: Repetimos este proceso una y otra vez, sin parar. En cada paso, quitamos el tercio central de todos los segmentos que quedan.
La imagen de abajo muestra las primeras etapas de esta construcción:
El conjunto de Cantor es el resultado final de este proceso infinito. Son todos los puntos que "sobreviven" después de quitar infinitos tercios centrales. Algunos puntos que siempre están son los extremos de los segmentos, como 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, y así sucesivamente. Pero también hay otros puntos, como 1/4, que forman parte del conjunto.
¿Cómo se relaciona con los números?
El conjunto de Cantor también se puede entender usando un sistema de números llamado "base 3". Normalmente usamos la "base 10" (con dígitos del 0 al 9). En base 3, solo usamos los dígitos 0, 1 y 2.
Números en base 3 y el Conjunto de Cantor
Cuando quitamos el tercio central de un segmento, estamos eliminando los números que, en su escritura en base 3, tienen un "1" en cierta posición. Por ejemplo, el primer tercio que quitamos (1/3, 2/3) corresponde a los números que empiezan con "0.1..." en base 3.
Así, el conjunto de Cantor está formado por todos los números entre 0 y 1 que se pueden escribir en base 3 usando solo los dígitos 0 y 2.
Propiedades sorprendentes del Conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor tiene algunas características que pueden parecer extrañas al principio:
¿Qué longitud tiene?
Aunque el conjunto de Cantor tiene muchísimos puntos, su "longitud" total es cero. Imagina que empiezas con un segmento de 1 metro.
- En el primer paso, quitas 1/3 de la longitud. Te quedan 2/3.
- En el segundo paso, quitas 1/3 de lo que queda (es decir, 1/3 de 2/3). La longitud se multiplica por 2/3 en cada paso.
Si sigues multiplicando por 2/3 infinitas veces, el resultado final es cero. Esto significa que el conjunto de Cantor no contiene ningún segmento de línea, por pequeño que sea.
¿Cuántos puntos tiene?
A pesar de tener longitud cero, el conjunto de Cantor tiene "tantos" puntos como el segmento original [0, 1]. Esto es muy sorprendente, porque el segmento [0, 1] tiene una cantidad infinita de puntos.
Para entender esto, podemos pensar en los números del conjunto de Cantor que solo usan 0 y 2 en base 3. Si cambiamos todos los "2" por "1" y leemos el número en "base 2", podemos obtener cualquier número entre 0 y 1. Esto nos dice que hay una correspondencia entre los puntos del conjunto de Cantor y todos los puntos del segmento [0, 1].
¿Es un conjunto especial?
Sí, el conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto "cerrado" y "compacto" en matemáticas. Esto significa que incluye todos sus puntos límite y que está "contenido" en un espacio limitado.
¿Es autosimilar?
El conjunto de Cantor es un fractal, lo que significa que es "autosimilar". Esto quiere decir que si tomas una parte del conjunto y la amplías, verás que se parece mucho al conjunto completo. Es como si cada pequeña parte contuviera una copia del todo.
Otras versiones del Conjunto de Cantor
Existen otras versiones o "generalizaciones" del conjunto de Cantor:
Polvo de Cantor
El "polvo de Cantor" es como el conjunto de Cantor, pero en más dimensiones. Por ejemplo, un polvo de Cantor bidimensional se ve como muchos puntos dispersos en un plano, y un polvo de Cantor tridimensional se ve como puntos en un espacio.
Otros fractales famosos que se construyen de forma similar son la alfombra de Sierpinski (en 2D) y la esponja de Menger (en 3D).
Ver también
- Función de Cantor
Véase también
En inglés: Cantor set Facts for Kids
